Question

Решите уравнение (2 sin x+1) (4 cos x+5) = 0

Answer 1

1) 2sinx+1=0

sinx = -0,5

x = - π/6 + 2πk, k - целое или x = 7π/6 +2πn, n - целое

 

2)4cosx+5 = 0

cosx=-1, 25

 

-1 <=cosx<= 1, поэтому в данном случае корней нет

 

Ответ: - π/6 + 2πk, k - целое. 7π/6 +2πn, n - целое

 

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[2\sin(x) + 1 + 4\cos(x) + 5 = 0.\]

Сначала объединим похожие члены:

\[2\sin(x) + 4\cos(x) + 6 = 0.\]

Теперь выразим \(\sin(x)\) через \(\cos(x)\), используя тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[2\sqrt{1 - \cos^2(x)} + 4\cos(x) + 6 = 0.\]

Теперь выразим \(\sin(x)\) через \(\cos(x)\):

\[2\sqrt{1 - \cos^2(x)} = -4\cos(x) - 6.\]

Возводим обе стороны в квадрат:

\[4(1 - \cos^2(x)) = 16\cos^2(x) + 24\cos(x) + 36.\]

Раскрываем скобки:

\[4 - 4\cos^2(x) = 16\cos^2(x) + 24\cos(x) + 36.\]

Теперь приведем все члены уравнения к одной степени:

\[0 = 20\cos^2(x) + 24\cos(x) + 32.\]

Теперь имеем квадратное уравнение, которое можно решить. Решение квадратного уравнения обычно выполняется с использованием формулы квадратного корня:

\[\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

В данном случае \(a = 20\), \(b = 24\), и \(c = 32\). Подставим значения:

\[\cos(x) = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4(20)(32)}}{2(20)}.\]

Вычисляем подкоренное выражение:

\[\cos(x) = \frac{-24 \pm \sqrt{576 - 2560}}{40}.\]

\[\cos(x) = \frac{-24 \pm \sqrt{-1984}}{40}.\]

Так как подкоренное выражение отрицательное, у нас есть комплексные корни. Подставим значение \(\sqrt{-1984}\) как \(i\sqrt{1984}\):

\[\cos(x) = \frac{-24 \pm i\sqrt{1984}}{40}.\]

Теперь у нас есть два решения для \(\cos(x)\). Решения для \(\sin(x)\) можно найти, используя тригонометрическое тождество \(\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}\). Таким образом, у нас есть две пары решений:

1. \(\cos(x) = \frac{-24 + i\sqrt{1984}}{40}\), тогда \(\sin(x) = \sqrt{1 - \left(\frac{-24 + i\sqrt{1984}}{40}\right)^2}\). 2. \(\cos(x) = \frac{-24 - i\sqrt{1984}}{40}\), тогда \(\sin(x) = \sqrt{1 - \left(\frac{-24 - i\sqrt{1984}}{40}\right)^2}\).

Эти выражения могут быть дополнительно упрощены, но оставим их в таком виде, так как выражения для \(\sin(x)\) могут стать сложными.