Question

Помогите решить уравнение: y^6+4y^4=y^2+4

Answer 1

У^6+4у^4-у^2-4=0
у^4(у^2+4)-(у^2-4)=0
(у^2+4)(у^4-1)=0
(у^2+4)(у^2-1)(у^2+1)=0
у^2+4=0
у^2=-4 корней нет
у^2-1=0
у^2=1
у1=-1
у2=1
у^2+1=0
у^2=-1 корней нет
ответ: -1 и 1

Answer 2

Решение:
y^6-y^2=-4y^4+4
y^4=4-4y^4

Answer 3

Конечно, давайте решим уравнение:

\[y^6 + 4y^4 = y^2 + 4\]

Для упрощения уравнения и его решения мы можем ввести замену, чтобы упростить запись:

Пусть \(x = y^2\). Тогда уравнение примет вид:

\[x^3 + 4x^2 = x + 4\]

Теперь у нас есть кубическое уравнение относительно \(x\). Давайте попробуем решить его.

\[x^3 + 4x^2 - x - 4 = 0\]

Заметим, что \(x = 1\) является корнем этого уравнения. Это можно проверить, подставив \(x = 1\) и убедившись, что левая часть равна нулю:

\[1^3 + 4 \cdot 1^2 - 1 - 4 = 0\]

Теперь, используя синтетическое деление или другие методы, мы можем разделить уравнение на \(x - 1\) и получить квадратное уравнение:

\[(x - 1)(x^2 + 5x + 4) = 0\]

Таким образом, у нас есть три корня:

1. \(x = 1\) 2. \(x = -1\) 3. \(x = -4\)

Теперь, вернемся к замене \(x = y^2\):

1. \(y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1\) 2. \(y^2 = -1\) - этот корень не имеет действительных значений, так как квадрат вещественного числа не может быть отрицательным. 3. \(y^2 = -4\) - аналогично, этот корень не имеет действительных значений.

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня: \(y = 1\) и \(y = -1\).