Question

Докажите тождество sin2a=(sina+cosa)^2-1

Answer 1

Преобразуем правую часть тождества:
(sina+cosa)²-1=sin²a+2sinacosa+cos²a-1=(sin²a+cos²a)+2sinacosa-1=1+2sinacosa-1=2sinacosa=sin2a
sin2a=sin2a, что и требовалось доказать



P.s. sin²a+cos²a=1 - основное тригонометрическое тождество

Answer 2

Разложение левой стороны:

Начнем с левой стороны тождества:

sin(2a)

Используя формулу двойного угла, мы можем переписать это как:

2 * sin(a) * cos(a)

Разложение правой стороны:

Перейдем к правой стороне тождества:

(sina + cosa)^2 - 1

Раскроем квадрат:

(sina + cosa) * (sina + cosa) - 1

Применим формулу раскрытия скобок:

sin^2(a) + 2 * sin(a) * cos(a) + cos^2(a) - 1

Сравнение левой и правой стороны:

Теперь сравним левую и правую стороны:

2 * sin(a) * cos(a) = sin^2(a) + 2 * sin(a) * cos(a) + cos^2(a) - 1

Упростим правую сторону:

2 * sin(a) * cos(a) = sin^2(a) + cos^2(a) + 2 * sin(a) * cos(a) - 1

Используя тригонометрическое тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1, мы можем упростить это еще больше:

2 * sin(a) * cos(a) = 1 + 2 * sin(a) * cos(a) - 1

Очевидно, что обе стороны равны друг другу.

Вывод:

Таким образом, мы доказали тождество sin^2(a) = (sin(a) + cos(a))^2 - 1.