Question

В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке O. Докажите что площади треугольников AOB и CОА равны.

Answer 1

Доказательство:  Рассмотрим треуг.ABC. Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники треуг.AOB, треуг.BOC, треуг.AOC. Пусть их площади равны соответственно  S1,  S2,  S3. А площадь  треуг.ABC равна  S. Рассмотрим треуг.ABK и  треуг.CBK, они равной площади, т.к.  BK медиана. В треугольнике треуг.AOC  OK - медиана, значит площади треугольников AOKи COK  равны. Отсюда следует, что S1 = S2. Аналогично можно доказать, что

S2 = S3 и S3 = S1 .

смотри файл вложен правда медианы не ровные

Answer 2

Для доказательства равенства площадей треугольников AOB и COA, мы можем использовать свойство медианы треугольника, которое утверждает, что медиана делит соответствующую сторону пополам.

Давайте представим, что медианы треугольника ABC пересекаются в точке O. Обозначим точку пересечения медианы из вершины A с противоположной стороной BC как точку D. Также обозначим точку пересечения медианы из вершины C с противоположной стороной AB как точку E.

Свойство медианы

Согласно свойству медианы, отрезок OD будет равен отрезку BD, а отрезок OE будет равен отрезку AE.

Таким образом, мы имеем:

OD = BD (1) OE = AE (2)

Доказательство равенства площадей

Мы хотим доказать, что площадь треугольника AOB равна площади треугольника COA.

Давайте рассмотрим площадь треугольника AOB. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту. Пусть h1 будет высотой треугольника AOB, опущенной из вершины O на сторону AB.

Тогда площадь треугольника AOB равна:

Площадь AOB = (1/2) * AB * h1 (3)

Аналогично, площадь треугольника COA можно выразить через основание и высоту. Пусть h2 будет высотой треугольника COA, опущенной из вершины O на сторону AC.

Тогда площадь треугольника COA равна:

Площадь COA = (1/2) * AC * h2 (4)

Доказательство равенства высот

Мы хотим показать, что высоты треугольников AOB и COA равны.

Из свойства медианы мы знаем, что OD = BD и OE = AE.

Также мы знаем, что точка O является точкой пересечения медиан треугольника ABC, поэтому точка O делит каждую медиану пополам.

Из этого следует, что OD = OE.

Таким образом, высоты треугольников AOB и COA равны:

h1 = OD = OE = h2

Доказательство равенства площадей треугольников

Используя равенство высот треугольников AOB и COA, мы можем заменить h1 и h2 в уравнениях (3) и (4):

Площадь AOB = (1/2) * AB * h1 = (1/2) * AB * h2 (5) Площадь COA = (1/2) * AC * h2 (6)

Из уравнений (5) и (6) следует, что:

Площадь AOB = Площадь COA

Таким образом, мы доказали, что площади треугольников AOB и COA равны.