Question

Решить уравнение: cos6x-cos3x=0

Answer 1

cos6x=2cos²3x-1

cos6x-cos3x=0

2cos²3x-cos3x-1=0

cos3x=-1/2                           или        cos3x=1

3x=±arccos(-1/2)+2πn,                     3x=2πk 

3x=±(π-π/3)+2πn,                                 x=2πk/3, k∈Z

 

 x=±2π/9+2πn/3, n∈Z

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для решения уравнения \( \cos(6x) - \cos(3x) = 0 \), давайте воспользуемся формулой разности для косинуса: \( \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \).

Применим эту формулу к вашему уравнению:

\[ \cos(6x) - \cos(3x) = \cos(3x + 3x) - \cos(3x) \]

Теперь мы можем использовать формулу разности:

\[ [\cos(3x)\cos(3x) + \sin(3x)\sin(3x)] - \cos(3x) = 0 \]

Объединим подобные члены:

\[ \cos^2(3x) + \sin^2(3x) - \cos(3x) = 0 \]

Используем тригонометрическое тождество \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \):

\[ 1 - \cos(3x) = 0 \]

Теперь решим уравнение относительно \( \cos(3x) \):

\[ \cos(3x) = 1 \]

Так как косинус угла равен 1 только при \( \theta = 0 + 2\pi k \), где \( k \) - целое число, подставим это значение:

\[ 3x = 0 + 2\pi k \]

Теперь решим уравнение относительно \( x \):

\[ x = \frac{2\pi k}{3} \]

Таким образом, решение уравнения \( \cos(6x) - \cos(3x) = 0 \) это \( x = \frac{2\pi k}{3} \), где \( k \) - целое число.