Question

Решите уравнение 4-cos^2 3x=3sin^2 3x+2sin 6x.

Answer 1

 4(sin²3x+cos²3x)-cos²3x-3sin²3x-2*2sin3x*cos3x=0
  3cos²3x+sin²3x-4sin3x*cos 3x=0 /cos²3x≠0
    3+tg²3x-4tg 3x=0.  tg²3x-4tg 3x+3=0    tg 3x=t
   t²-4t+3=0   t1=3   t2=1
   tg 3x=1  3x=π/4+πn   x=π/12+πn/3.  n∈z
    tg 3x=3  3x=arctg3 +πk    x=1/3arctg3+πk/3.k∈z
      ответ  π/12+πn/3,   1/3arctg3+πk/3.  n.k∈z

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом:

Уравнение: \(4 - \cos^2(3x) = 3\sin^2(3x) + 2\sin(6x)\)

Сначала преобразим уравнение, чтобы упростить его:

\[4 - \cos^2(3x) = 3\sin^2(3x) + 2\sin(6x)\]

Используем тригонометрические тождества:

\[\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\]

Также, используем формулу для удвоенного угла: \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\)

Подставим тождество и формулу для удвоенного угла:

\[4 - (1 - \sin^2(3x)) = 3\sin^2(3x) + 2\sin(2 \cdot 3x)\]

Раскроем скобки и упростим:

\[4 - 1 + \sin^2(3x) = 3\sin^2(3x) + 2\sin(6x)\]

\[\sin^2(3x) = 3\sin^2(3x) + 2\sin(6x) - 3\]

Теперь сгруппируем все члены на одной стороне уравнения:

\[0 = 2\sin(6x) - 2\sin^2(3x) - 3\]

Теперь видно, что уравнение является квадратным относительно \(\sin(3x)\). Заменим \(\sin(3x)\) на \(y\):

\[0 = 2\sin(6x) - 2y^2 - 3\]

Теперь у нас есть уравнение:

\[2y^2 + 2\sin(6x) - 3 = 0\]

Решим это уравнение относительно \(y\), а затем вернемся к переменной \(x\). В данном случае, это уравнение может быть сложным для аналитического решения, и его решение может потребовать численных методов или специализированных программных инструментов.