Question

Найти наименьшее и наибольшее значение функции у=корень из х(10-х) срочно, помогите пожалуйста

Answer 1

Конечно, я готов помочь! Давайте найдем минимальное и максимальное значение функции \( y = \sqrt{x(10-x)} \).

Для начала заметим, что функция определена только для значений \( x \), для которых аргумент под корнем неотрицателен, то есть \( x(10-x) \geq 0 \). Это происходит, когда \( x \) принадлежит интервалам \( [0, 10] \). Таким образом, область определения функции - это отрезок от 0 до 10 включительно.

Теперь найдем критические точки функции, где производная равна нулю или не существует. Для этого найдем производную функции \( y \) по \( x \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{x(10-x)}) \]

Для упрощения вычислений представим функцию под корнем в виде произведения: \( x(10-x) = 10x - x^2 \). Тогда:

\[ y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{10x - x^2}) \]

Используем цепное правило дифференцирования:

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{10x - x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(10x - x^2) \]

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{10x - x^2}} \cdot (10 - 2x) \]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[ \frac{1}{2\sqrt{10x - x^2}} \cdot (10 - 2x) = 0 \]

Уравнение будет равно нулю, когда числитель равен нулю:

\[ 10 - 2x = 0 \]

Отсюда получаем, что \( x = 5 \).

Теперь проанализируем поведение функции на границах и в критической точке:

1. При \( x = 0 \) и \( x = 10 \) функция принимает значение \( y = \sqrt{0 \cdot 10} = 0 \). 2. В критической точке \( x = 5 \) функция также принимает значение \( y = \sqrt{5 \cdot (10-5)} = \sqrt{25} = 5 \).

Таким образом, минимальное значение функции \( y \) равно 0 (достигается при \( x = 0 \) и \( x = 10 \)), а максимальное значение равно 5 (достигается при \( x = 5 \)).