Question

Решить уравнение log3(x-8)+log3x=2

Answer 1

ОДЗ
x>0
x-8>0
x>8

$log_3(x-8)+log_3x=2 \\ \\ log_3x(x-8)=2 \\ \\ log_3( x^{2} -8x)=log_3 3^2 \\ \\ x^{2} -8x=9 \\ \\ x^{2} -8x-9=0 \\ \\ D=8^2+4*9=100 \\ \\ x_1= \frac{8+10}{2}=9 \\ \\ x_2= \frac{8-10}{2} =-1$

В соответствии с ОДЗ х₂<8, значит не подходит

Ответ х=9

Answer 2

Конечно, давай разберём это уравнение по частям.

У нас есть уравнение \(\log_3(x-8) + \log_3x = 2\). Чтобы решить его, начнём с использования свойства логарифмов, которое гласит, что \(\log_b{M} + \log_b{N} = \log_b{M \cdot N}\).

Применим это свойство к уравнению:

\(\log_3(x-8) + \log_3x = 2\)

Используем свойство суммы логарифмов:

\(\log_3(x-8) \cdot x = 2\)

Теперь преобразуем уравнение, используя определение логарифма. Логарифм с основанием \(3\) можно переписать в экспоненциальной форме: \(a = \log_b{c}\) равносильно \(b^a = c\). Таким образом:

\(3^2 = x \cdot (x-8)\)

\(9 = x^2 - 8x\)

Теперь приведём уравнение к виду \(x^2 - 8x - 9 = 0\).

Попробуем решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) для нахождения корней \(x\):

Для уравнения \(x^2 - 8x - 9 = 0\):

Используем формулу для решения квадратных уравнений: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

\(a = 1, b = -8, c = -9\)

Подставляем значения:

\(x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}\)

\(x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}\)

\(x = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2}\)

\(x = \frac{8 \pm 10}{2}\)

Таким образом, получаем два возможных значения \(x\):

1. \(x = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9\) 2. \(x = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)

Однако, когда подставляем \(x = -1\) обратно в исходное уравнение \(\log_3(x-8) + \log_3x = 2\), получаем логарифм от отрицательного числа, что недопустимо в области действительных чисел. Поэтому корень \(x = -1\) не подходит.

Таким образом, корень уравнения \(x = 9\) является правильным решением уравнения \(\log_3(x-8) + \log_3x = 2\).