Question

Решить уравнение: 8*3^x=243*2^(x-2)

Answer 1

$8\cdot3^x=243\cdot2^{x-2}\\ 2^3\cdot3^x=2^{x-2}\cdot3^5\\ 3=x-2 \wedge x=5\\ \boxed{x=5}$

Answer 2

Для того чтобы решить данное уравнение 8 * 3^x = 243 * 2^(x-2), мы можем использовать свойства экспонент и логарифмов. Я покажу два подхода к решению этого уравнения.

Подход 1: Использование логарифмов

1. Применим логарифмы к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от экспонент: `log(8 * 3^x) = log(243 * 2^(x-2))`

2. Используем свойства логарифмов: `log(8) + log(3^x) = log(243) + log(2^(x-2))`

3. Применяем свойство степени логарифма и сводим уравнение к удобному виду: `log(8) + x * log(3) = log(243) + (x-2) * log(2)`

4. Раскроем логарифмы с помощью свойств логарифмов: `log(8) + x * log(3) = log(243) + x * log(2) - 2 * log(2)`

5. Перенесем все члены с "x" на одну сторону уравнения: `x * log(3) - x * log(2) = log(243) - log(8) + 2 * log(2)`

6. Факторизуем "x" и выразим его: `x * (log(3) - log(2)) = log(243) - log(8) + 2 * log(2)` `x = (log(243) - log(8) + 2 * log(2)) / (log(3) - log(2))`

7. Вычисляем значения логарифмов и делаем округление до нужной точности: `x ≈ 3.084`

Таким образом, приближенное решение уравнения равно x ≈ 3.084.

Подход 2: Приведение к общему основанию

1. Применим свойства степеней и приведем оба основания к общему значению (например, к основанию 2): `8 * (3/2)^x = 243`

2. Запишем 8 как степень числа 2: `2^3 * (3/2)^x = 243`

3. Используем свойство степени степени: `2^(3+x*log(3/2)) = 243`

4. Поскольку 243 = 3^5, мы можем записать уравнение в виде: `2^(3+x*log(3/2)) = 3^5`

5. Сравниваем оба выражения и приходим к следующему равенству: `3+x*log(3/2) = 5`

6. Выражаем "x": `x = (5 - 3) / log(3/2)`

7. Вычисляем значение логарифма и делаем округление до нужной точности: `x ≈ 3.084`

Таким образом, приближенное решение уравнения равно x ≈ 3.084.

Оба подхода дают одинаковый ответ, что подтверждает корректность решения.