Question

Найти производную функцию 5x^2-1/x^3 (X/7+3)^8

Answer 1

10х+3х^-4
8(х/7+3)^7*(х/7+3)'=8(х/7+3)*(-7х^-8)

Answer 2

Для нахождения производной функции, данной в виде (5x^2 - 1)/(x^3 + (x/7 + 3)^8), мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило дифференцирования частного и цепного правила.

Разложение функции

Давайте сначала разложим данную функцию на более простые составляющие:

f(x) = (5x^2 - 1)/(x^3 + (x/7 + 3)^8)

Мы можем разделить эту функцию на две части: числитель и знаменатель.

Числитель: (5x^2 - 1) Знаменатель: (x^3 + (x/7 + 3)^8)

Применение правил дифференцирования

Для нахождения производной функции, мы будем применять правила дифференцирования к числителю и знаменателю, а затем воспользоваться правилом дифференцирования частного.

Шаг 1: Нахождение производной числителя

Для нахождения производной числителя (5x^2 - 1) по x, мы применим правило дифференцирования для многочленов. Правило гласит, что производная каждого слагаемого равна производной этого слагаемого.

Производная слагаемого 5x^2 равна 10x, так как мы умножаем показатель степени на коэффициент. Производная слагаемого -1 равна 0, так как константа не имеет производной.

Таким образом, производная числителя равна: 10x + 0 = 10x.

Шаг 2: Нахождение производной знаменателя

Для нахождения производной знаменателя (x^3 + (x/7 + 3)^8) по x, нам понадобится применить правило дифференцирования для сложной функции. Правило гласит, что производная сложной функции f(g(x)) равна производной внешней функции f(g(x)) умноженной на производную внутренней функции g(x).

Для производной слагаемого x^3 мы будем использовать правило дифференцирования для многочленов. Правило гласит, что производная каждого слагаемого равна производной этого слагаемого.

Производная слагаемого x^3 равна 3x^2, так как мы умножаем показатель степени на коэффициент.

Для производной слагаемого (x/7 + 3)^8 мы будем использовать правило дифференцирования для сложной функции. Правило гласит, что производная сложной функции f(g(x)) равна производной внешней функции f(g(x)) умноженной на производную внутренней функции g(x).

Производная слагаемого (x/7 + 3)^8 может быть найдена с использованием правила дифференцирования для степенной функции. Это правило гласит, что производная функции x^n равна n * x^(n-1).

Применяя это правило, мы получаем: производная слагаемого (x/7 + 3)^8 равна 8 * (x/7 + 3)^(8-1) * (1/7) = (8/7) * (x/7 + 3)^7.

Таким образом, производная знаменателя равна: 3x^2 + (8/7) * (x/7 + 3)^7.

Шаг 3: Нахождение производной функции

Теперь, когда мы нашли производные числителя и знаменателя, мы можем применить правило дифференцирования частного. Правило гласит, что производная частного двух функций равна (производная числителя * знаменатель - производная знаменателя * числитель) / знаменатель^2.

Производная функции f(x) = (5x^2 - 1)/(x^3 + (x/7 + 3)^8) равна:

(10x * (x^3 + (x/7 + 3)^8) - (3x^2 + (8/7) * (x/7 + 3)^7) * (5x^2 - 1)) / ((x^3 + (x/7 + 3)^8)^2).

Подробный ответ

Таким образом, производная функции f(x) = (5x^2 - 1)/(x^3 + (x/7 + 3)^8) равна:

(10x * (x^3 + (x/7 + 3)^8) - (3x^2 + (8/7) * (x/7 + 3)^7) * (5x^2 - 1)) / ((x^3 + (x/7 + 3)^8)^2).

Это выражение представляет собой производную заданной функции.