Question

S от -2 до 3 (4х^3-3х^2+2х+1)dx

Answer 1

=x^4-x^3+x=[(-2)^4-(-2)^3+(-2)]-(3^4-3^3+3)=22-57=-35

Answer 2

Для вычисления данного определенного интеграла, нам нужно сначала найти неопределенный интеграл для данной функции, а затем применить формулу Ньютона-Лейбница для вычисления значения интеграла на заданном интервале.

Нахождение неопределенного интеграла

Дана функция: f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + 1. Чтобы найти неопределенный интеграл этой функции, мы интегрируем каждый член по отдельности.

Интеграл первого члена: ∫(4x^3)dx = (4/4)x^4 = x^4.

Интеграл второго члена: ∫(-3x^2)dx = (-3/3)x^3 = -x^3.

Интеграл третьего члена: ∫(2x)dx = (2/2)x^2 = x^2.

Интеграл четвертого члена: ∫(1)dx = x.

Теперь собираем все интегралы вместе, чтобы получить неопределенный интеграл для функции f(x):

∫(4x^3 - 3x^2 + 2x + 1)dx = x^4 - x^3 + x^2 + x + C,

где C - произвольная постоянная.

Вычисление значения определенного интеграла

Теперь, чтобы вычислить значение определенного интеграла на интервале от -2 до 3, мы используем формулу Ньютона-Лейбница:

∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a),

где F(x) - неопределенный интеграл функции f(x).

Подставляем значения верхнего предела b=3 и нижнего предела a=-2 в наш неопределенный интеграл:

F(3) - F(-2) = (3^4 - 3^3 + 3^2 + 3) - ((-2)^4 - (-2)^3 + (-2)^2 + (-2)).

Вычисляем значения:

F(3) = 81 - 27 + 9 + 3 = 66,

F(-2) = 16 - (-8) + 4 - 2 = 30.

Теперь подставляем значения в формулу:

∫[-2,3] (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1)dx = F(3) - F(-2) = 66 - 30 = 36.

Таким образом, значение данного определенного интеграла равно 36.