Question

Само действие вычисления теоремы Виета

Answer 1

ля приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при x2 в котором равен единице) x2 + px + q = 0 сумма корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q: 
x1 + x2 = -p 
x1x2 = q 

В случае неприведенного квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0: 
x1 + x2 = -b / a 
x1x2 = c / a 

Answer 2

Теорема Виета — это математическая теорема, которая устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде:

\[ax^2 + bx + c = 0,\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) — это коэффициенты уравнения, а \(x\) — неизвестная переменная.

Теорема Виета для квадратного уравнения утверждает, что сумма корней этого уравнения равна отрицательному коэффициенту при \(x\) в уравнении, а произведение корней равно свободному члену (константе) уравнения. Формально:

Если \(x_1\) и \(x_2\) являются корнями уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), то:

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]

\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]

Теперь, чтобы продемонстрировать это вычисление, рассмотрим квадратное уравнение \(2x^2 - 5x + 3 = 0\). Мы видим, что \(a = 2\), \(b = -5\), и \(c = 3\).

Согласно теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}\]

\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}\]

Таким образом, сумма корней уравнения равна \(\frac{5}{2}\), а их произведение равно \(\frac{3}{2}\).

Теорема Виета также обобщается на многочлены более высоких степеней. Например, для кубического уравнения \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), теорема Виета утверждает, что сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), сумма всех возможных произведений двух различных корней равна \(\frac{c}{a}\), а произведение всех трех корней равно \(-\frac{d}{a}\).

Таким образом, теорема Виета предоставляет полезные свойства корней уравнений и широко используется в алгебре и теории уравнений.