Question

Решите кто-нибудь алгебру плиз. Зарание спс. Касательная, проведённая к графику функции y = 2x^3 - 6x^2 - 19x + 20 в некоторой точке, образует с положительным направлением оси Оx угол 135 градусов. а)Найдите координаты точки касания б)составьте уравнение касательной

Answer 1

Уравнение касательной имеет вид: $y(x)=f( x_{0} )+ f^{'} (x_{0})(x- x_{0}) =>$. $f^{'} (x_{0})=tg135 ^{o}=-1.$ . Находим производную от функции : 6x^2-12x-19=-1 => x1=-1,x2=3.
1)х1=-1 => y(x) = 2*(-1)^3-6*(-1)^2-19*(-1)+20-(x+1)=31-x-1=30-x
2)x2=3 => y(x) =  2*3^3-6*3^2-19*3+20-(x-3)=-18-x+3=-x-15

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

Пусть \( P(x_0, y_0) \) - точка касания касательной к графику функции \( y = 2x^3 - 6x^2 - 19x + 20 \).

1. Найдем производные функции:

\[ y' = \frac{dy}{dx} = 6x^2 - 12x - 19 \]

2. Теперь найдем угловой коэффициент касательной в точке \( P \), подставив \( x_0 \) в \( y' \):

\[ k = y'(x_0) = 6x_0^2 - 12x_0 - 19 \]

3. Угол наклона касательной к положительному направлению оси \( Ox \) равен \( \arctan(k) \). В данной задаче угол равен \( 135^\circ \), что в радианах \( \frac{3\pi}{4} \).

\[ \arctan(k) = \frac{3\pi}{4} \]

4. Решим уравнение относительно \( x_0 \):

\[ 6x_0^2 - 12x_0 - 19 = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) \]

\[ 6x_0^2 - 12x_0 - 19 = -1 \]

5. Решим квадратное уравнение:

\[ 6x_0^2 - 12x_0 - 18 = 0 \]

\[ x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0 \]

\[ (x_0 - 3)(x_0 + 1) = 0 \]

\[ x_0 = 3 \text{ или } -1 \]

6. Так как угол наклона отрицательный, выбираем \( x_0 = 3 \).

Теперь найдем \( y_0 \) - координату точки касания:

\[ y_0 = 2x_0^3 - 6x_0^2 - 19x_0 + 20 \]

\[ y_0 = 2(3)^3 - 6(3)^2 - 19(3) + 20 \]

\[ y_0 = 54 - 54 - 57 + 20 \]

\[ y_0 = -37 \]

Таким образом, координаты точки касания \( P \) - \( (3, -37) \).

Теперь перейдем ко второй части задачи, где нужно составить уравнение касательной.

Уравнение касательной в точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид:

\[ y - y_0 = k(x - x_0) \]

Подставим значения:

\[ y + 37 = (6x^2 - 12x - 19)(x - 3) \]

Это уравнение можно упростить, раскрыв скобки и приведя подобные члены.