Question

Решите неравенства: 1)x^2/x^2 + 3x+x-5/x>= -2+x/x+3 2) x+3/x^2-x - x+5/x+x^2>x-6/1-x^2

Answer 1

2x^2-6x+5/2x-3<=1;
2x^2 - 6x +5 - 2x + 3 / 2x - 3 <=0;
2x^2 - 8x+ 8 / 2x-3 <=0;
2(x^2 - 4x + 4) /2(x - 1,5) <=0;
x^2 - 4x + 4 / x-1,5<=0;
(x-2)^ / x - 1,5<=0;
x= 2;корень четной кратности, при переходе через него неравенство знак не меняет
 x= 1,5
Решаем методом интервалов. Точку х=2 закрашиваем, так как пришла из корня(неравенство нестрогое), а точку х= 1,5 выкалываем(пустая), так как знаменатель не может быть равен 0.

  -                            +                  +
________1,5_________2_______  x

Методом интервалов определяем, что решением неравенства будет интервал от минус бесконечности до х=1,5(не включая) и точка х=2.
Ответ: (- бесконечность: 1,5) U {2}

Answer 2

Давайте решим каждое неравенство по отдельности.

1) Начнем с первого неравенства:

x^2 / (x^2 + 3x) - (5 / x) ≥ -2 + (x / (x + 3)) + 2

Для начала упростим выражение, умножив оба члена неравенства на (x^2 + 3x):

x^2 - 5(x + 3) ≥ -2(x^2 + 3x) + 2(x^2 + 3x)

Раскроем скобки:

x^2 - 5x - 15 ≥ -2x^2 - 6x + 2x^2 + 6x

Сократим подобные члены:

x^2 - 5x - 15 ≥ 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения:

x^2 - 5x - 15 = 0

(x - 3)(x + 5) = 0

Таким образом, x = 3 или x = -5.

Теперь построим знаковую линию и проверим значения в интервалах:

-∞ -5 3 +∞ + 0 - -

Таким образом, решением неравенства является интервал (-∞, -5] ∪ [3, +∞).

2) Перейдем ко второму неравенству:

(x + 3) / (x^2 - x) + (x + 5) / (x + x^2) > x - 6 / (1 - x^2)

Для начала упростим выражение:

(x + 3) / x(x - 1) + (x + 5) / x(x + 1) > (x - 6) / ((1 - x)(1 + x))

Для удобства, умножим оба члена неравенства на x(x - 1)(x + 1)(1 - x):

(x + 3)(x + 1) + (x + 5)(x - 1) > (x - 6)(x(x - 1)(x + 1))

Раскроем скобки:

(x^2 + 4x + 3) + (x^2 + 4x - 5) > (x^2 - 6x)(x^2 - x)

Сократим подобные члены:

2x^2 + 8x - 2 > x^4 - 7x^3 + 6x^2

Приведем все члены в одну степень:

x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 2x^2 - 8x + 2 > 0

x^4 - 7x^3 + 4x^2 - 8x + 2 > 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Но сначала найдем корни уравнения:

x^4 - 7x^3 + 4x^2 - 8x + 2 = 0

После анализа этого уравнения не удается найти рациональные корни, поэтому нам придется использовать численные методы или графический метод для определения решений.

Итак, решение второго неравенства будет состоять из интервалов, где выражение x^4 - 7x^3 + 4x^2 - 8x + 2 больше нуля.