Question

Помогите , пожалуйста!2sin^2 3x + 5 cos 3x +1 =0

Answer 1

$2\sin^23x+5\cos3x+1=0 \\ 2(1-\cos^23x)+5\cos3x+1=0 \\ 2-2\cos^23x+5\cos3x+1=0 \\ -2\cos^23x+5\cos3x+3=0|\cdot(-1) \\ 2\cos^23x-5\cos3x-3=0$

Пусть cos 3x = t причем (|t|≤1), тогда имеем
2t²-5t-3=0
D=b²-4ac=25+24=49
$t_1= \frac{5+7}{4} =3$ - не удовлетворяет условие при |t|≤1
$t_2= \frac{5-7}{4} =- \frac{1}{2}$

Обратная замена
$\cos3x=- \frac{1}{2} \\ 3x=\pm \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n,n \in Z \\ x=\pm \frac{2\pi}{9}+ \frac{2\pi n}{3} , n \in Z$

Answer 2

Привет! Я могу помочь с решением данного уравнения. Давайте разберемся по шагам.

Уравнение, которое вы предоставили, выглядит следующим образом:

2sin^2(3x) + 5cos(3x) + 1 = 0

Для начала заметим, что уравнение содержит квадрат синуса и косинуса. Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения уравнения.

Шаг 1: Применение тригонометрических тождеств

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Можем ли мы как-то использовать это тождество для упрощения уравнения?

Да, мы можем заменить sin^2(3x) на 1 - cos^2(3x), так как sin^2(3x) + cos^2(3x) = 1. Теперь наше уравнение выглядит так:

2(1 - cos^2(3x)) + 5cos(3x) + 1 = 0

Шаг 2: Упрощение уравнения

Давайте раскроем скобки и упростим уравнение:

2 - 2cos^2(3x) + 5cos(3x) + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратный термин и линейный термин. Мы можем собрать их вместе:

-2cos^2(3x) + 5cos(3x) + 3 = 0

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(3x). Давайте решим его.

Мы можем воспользоваться методом замены переменной, где u = cos(3x). Заменим u в уравнении:

-2u^2 + 5u + 3 = 0

Теперь это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью факторизации, квадратного корня или квадратного уравнения. В данном случае, факторизация не является очевидной, поэтому воспользуемся квадратным уравнением.

Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы определить, есть ли у уравнения решения:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

где a = -2, b = 5 и c = 3.

Вычислим дискриминант:

D = 5^2 - 4(-2)(3) = 25 + 24 = 49

Так как дискриминант положительный (D > 0), у нас есть два различных решения для уравнения.

Шаг 4: Нахождение решений

Мы можем использовать квадратные формулы, чтобы найти значения u:

u = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения a, b и D в формулу:

u = (-5 ± √49) / (2(-2))

Теперь вычислим значения u:

u1 = (-5 + √49) / -4 = (2/4) = 0.5 u2 = (-5 - √49) / -4 = (-12/4) = -3

Шаг 5: Обратная замена

Теперь, когда у нас есть значения u, мы можем вернуться к исходному уравнению и найти значения cos(3x).

Обратимся к исходному уравнению:

cos(3x) = u

Теперь разрешим уравнение относительно x:

3x = arccos(u)

x = (1/3) * arccos(u)

Таким образом, у нас есть два решения для x:

x1 = (1/3) * arccos(0.5) x2 = (1/3) * arccos(-3)

Окончательный ответ

Таким образом, решения уравнения 2sin^2(3x) + 5cos(3x) + 1 = 0:

x1 = (1/3) * arccos(0.5) x2 = (1/3) * arccos(-3)

Обратите внимание, что значения аргумента arccos должны быть в диапазоне от 0 до 180 градусов или от 0 до π радианов, в зависимости от предпочтений.