Question

20^cosx = 4^cosx * 5^(-sinx)

Answer 1

4^cosx * 5^cosx = 4^ cox * 5^(-sinx)|: 4^cosx не равное 0
5^cox=5^(-sinx)
cosx=-sinx
cosx+sinx=0|: cosx не равное 0
tgx+1=0
tgx=-1
x=-arctg 1 + пк, к принадлежит z
x=-п/4 + пк, к принадлежит z

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся свойствами степеней и тригонометрическими тождествами.

Итак, у нас дано уравнение: 20^cosx = 4^cosx * 5^(-sinx).

Заметим, что слева и справа от знака равенства стоят степени с одинаковыми основаниями (20 и 4), а также косинусы и синусы с одинаковыми аргументами (x).

Для упрощения выражения, введем новую переменную t = cosx. Тогда уравнение примет вид: 20^t = 4^t * 5^(-sinx).

Теперь применим тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим t = cosx в это тождество:

sin^2(x) + t^2 = 1.

Выразим sinx через t: sinx = sqrt(1 - t^2).

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

20^t = 4^t * 5^(-sqrt(1 - t^2)).

Для удобства дальнейших вычислений, возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

log(20^t) = log(4^t * 5^(-sqrt(1 - t^2))).

Используем свойства логарифмов:

t * log(20) = t * log(4) - sqrt(1 - t^2) * log(5).

Так как t > 0 (так как t = cosx, а cosx > 0 в первой и второй четвертях), то можно сократить t на обеих частях уравнения:

log(20) = log(4) - sqrt(1 - t^2) * log(5).

Теперь выразим sqrt(1 - t^2):

sqrt(1 - t^2) = (log(4) - log(20)) / log(5).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

1 - t^2 = ((log(4) - log(20)) / log(5))^2.

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно t:

t^2 = 1 - ((log(4) - log(20)) / log(5))^2.

t = ± sqrt(1 - ((log(4) - log(20)) / log(5))^2).

Таким образом, мы нашли значения t, которые соответствуют значениям cosx. Чтобы получить значения x, возьмем обратный косинус от найденных значений t:

x = arccos(t).

Подставив найденные значения t, получим конкретные значения x, которые являются решениями исходного уравнения.