Question

Вычислите: (2+i)^5 пожалуйста, с полным решением

Answer 1

(2+I)^5= 2^5 + 5*2^4i + 10 *2^3i^2 + 10 *2 ^2i^3 + 5 *2i^4+i^5 =

Answer 2

Для решения данного выражения, воспользуемся формулой для возведения комплексного числа в степень:

(a + bi)^n = (r * cos(theta) + r * sin(theta))^n = r^n * cos(n * theta) + r^n * sin(n * theta)

где: - a и b - действительные числа, - i - мнимая единица (i^2 = -1), - r - модуль комплексного числа (r = sqrt(a^2 + b^2)), - theta - аргумент комплексного числа (theta = arctan(b/a)).

В нашем случае, a = 2 и b = 1, поэтому мы должны сначала найти модуль и аргумент комплексного числа (2 + i) и затем применить формулу.

Нахождение модуля и аргумента комплексного числа

Модуль комплексного числа (2 + i) можно найти, используя формулу:

r = sqrt(a^2 + b^2)

где a = 2 и b = 1:

r = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(4 + 1) = sqrt(5)

Аргумент комплексного числа (2 + i) можно найти, используя формулу:

theta = arctan(b/a)

где a = 2 и b = 1:

theta = arctan(1/2)

Теперь, когда мы знаем модуль r и аргумент theta, мы можем применить формулу для возведения в степень:

Возведение комплексного числа в степень

(2+i)^5

Для удобства, обозначим (2 + i) как z.

z = 2 + i

Используем формулу:

z^n = r^n * cos(n * theta) + r^n * sin(n * theta)

где r = sqrt(5) и theta = arctan(1/2):

z^5 = (sqrt(5))^5 * cos(5 * arctan(1/2)) + (sqrt(5))^5 * sin(5 * arctan(1/2))

Значение cos(5 * arctan(1/2)) и sin(5 * arctan(1/2)) можно вычислить с помощью тригонометрических формул или использовать калькулятор.

cos(5 * arctan(1/2)) ≈ -0.312 sin(5 * arctan(1/2)) ≈ 0.95

Теперь, подставим значения в формулу:

z^5 ≈ (sqrt(5))^5 * (-0.312) + (sqrt(5))^5 * 0.95

z^5 ≈ (5^(1/2))^5 * (-0.312) + (5^(1/2))^5 * 0.95

z^5 ≈ 5^(5/2) * (-0.312) + 5^(5/2) * 0.95

z^5 ≈ (5^(5/2)) * (-0.312 + 0.95)

z^5 ≈ (5^(5/2)) * 0.638

Таким образом, (2 + i)^5 ≈ (5^(5/2)) * 0.638.

Если вам нужно точное числовое значение, вы можете вычислить его с помощью калькулятора или программы для работы с комплексными числами.