Question

Найдите наименьшее значение функции f(x)=x^4-8x^2+5 на отрезке [-3;2]

Answer 1

Запишем f(x) в виде f(x)=(x^2-4)^2-11. Заметим, что это выражение минимально при минимальном значении (x^2-4)^2. А выражение (x^2-4)^2 минимально при минимальном значении модуля выражения |x^2-4|. А так как мнинимальное значение модуля чего-то равно нулю, а здесь ноль достигается при х=2(из области определения) то минимальное значение f(x) на промежутке [-3;2] функция принимает при х=2; min(f(x))=2^4-8*2^2+5=5 Ответ:5

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции f(x) = x^4 - 8x^2 + 5 на отрезке [-3; 2], мы можем использовать метод дифференцирования. Дифференцирование позволяет найти точки экстремума функции, а затем мы можем проверить значения функции в этих точках и на концах отрезка, чтобы найти наименьшее значение.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции f(x) = x^4 - 8x^2 + 5. Производная показывает, как меняется функция по отношению к ее аргументу x.

f'(x) = 4x^3 - 16x

Шаг 2: Нахождение точек экстремума

Чтобы найти точки экстремума функции, мы должны решить уравнение f'(x) = 0 и найти значения x, при которых производная равна нулю.

4x^3 - 16x = 0

Мы можем факторизовать это уравнение:

4x(x^2 - 4) = 0

Теперь, чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю, мы решаем каждый фактор отдельно:

a) 4x = 0 x = 0

b) x^2 - 4 = 0 x^2 = 4 x = ±2

Таким образом, мы нашли три точки экстремума: x = 0, x = 2 и x = -2.

Шаг 3: Проверка значений функции

Чтобы найти наименьшее значение функции f(x), мы должны проверить значения функции в найденных точках экстремума и на концах отрезка [-3; 2].

f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 72 + 5 = 14 f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 5 = 5

Таким образом, мы получаем значения функции f(x) на концах отрезка и точках экстремума: f(-3) = 14 f(2) = -11 f(0) = 5

Ответ

Наименьшее значение функции f(x) = x^4 - 8x^2 + 5 на отрезке [-3; 2] равно -11, и достигается в точке x = 2.