Question

Преобразовать тригонометрические выражения:1) 7cos^2 a - 5 + 7sin^2 a = 02) (cos x + sin x)^2 - sin2 x3) (1 + cos2 a)/(2cos a)

Answer 1

$1) 7cos^{2}a-5+7sin^{2}a=(7cos^{2}a+7sin^{2}a)-5= \\ 7(cos^{2}a+sin^{2}a)-5=7-5=2 \\ 2)(cosx+sinx)^{2}-sin2x=cos^{2}x+sin^{2}x+2sinx*cosx \\ -2sinx*cosx=1 \\ 3) \frac{1+cos2a}{2cosa}=\frac{sin^{2}a+cos^{2}+cos^{2}a-sin^{2}a}{2cosa}= \frac{2cos^{2}a}{2cosa}=cosa$

Answer 2

$1)\\7cos^2\alpha-5+7sin^2\alpha=7(cos^2\alpha+sin^2\alpha)-5=7\cdot1-5=7-5=2\\\\2)\\(cosx+sinx)^2-sin2x=cos^2x+2sinxcosx+sin^2x-2sinxcosx=1\\\\3)\\\frac{1+cos2\alpha}{2cos\alpha}=\frac{1+cos^2\alpha-sin^2\alpha}{2cos\alpha}=\frac{1-sin^2\alpha+cos^2\alpha}{2cos\alpha}=\frac{cos^2\alpha+cos^2\alpha}{2cos\alpha}\\\\=\frac{2cos^2\alpha}{2cos\alpha}=cos\alpha\\\\====================================\\sin^2x+cos^2x=1\to cos^2x=1-sin^2x\\\\sin2x=2sinxcosx\\\\cos2x=cos^2x-sin^2x$

Answer 3

1) Начнем с первого выражения: 7cos^2(a) - 5 + 7sin^2(a) = 0. Заметим, что cos^2(a) + sin^2(a) = 1 (тождество Пифагора для тригонометрических функций). Подставим это в выражение: 7(1) - 5 + 7(1) = 0. Упростим: 7 - 5 + 7 = 0. Получим: 9 = 0. Такое уравнение не имеет решений.

2) Второе выражение: (cos(x) + sin(x))^2 - sin(2x^3). Раскроем квадрат: cos^2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin^2(x) - sin(2x^3). Заметим, что cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Подставим это в выражение: 1 + 2cos(x)sin(x) - sin(2x^3). Также заметим, что sin(2x^3) = 2sin(x^3)cos(x^3) (формула двойного угла для синуса). Подставим это в выражение: 1 + 2cos(x)sin(x) - 2sin(x^3)cos(x^3). Это окончательное преобразованное выражение.

3) Третье выражение: (1 + cos^2(a))/(2cos(a)). Раскроем скобки: (1 + cos^2(a))/(2cos(a)). Заметим, что 1 + cos^2(a) = sin^2(a) (тождество Пифагора для тригонометрических функций). Подставим это в выражение: sin^2(a)/(2cos(a)). Мы не можем упростить данное выражение, оставим его в таком виде.