Question

Решите уравнение cos2x+sin*2x=0.5

Answer 1

Самый удобный способ при решении подобных уравнений - метод вспомогательного аргумента. Покажу, как он применяется.
У нас в левой части стоит выражение cos 2x + sin 2x. Выражение такого вида можно привести к одной тригонометрической функции, то есть, получив простейшее уравнение. Покажу, как это можно сделать.
Разделим обе части уравнения на некоторое число. Это число равняется квадратному корню из суммы квадратов коэффициентов при соответствующих функциях. Оба коэффициента равны по 1. Найдём это число C
C = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt 2  (здесь и далее sqrt - квадратный корень из числа)
Делим обе части уравнения на sqrt 2.
1/sqrt2  * cos 2x +  1/sqrt2 * sin 2x = 1/2sqrt 2
Мы знаем из курса тригонометрии, что 1/sqrt 2 = sin pi/4 = cos pi/4
Перепишем наше уравнение так:
cos pi/4 * cos 2x + sin pi/4 * sin 2x = 1/2sqrt 2
Ну и далее замечаем, что полученное выражение - всего лишь формула косинуса разности, сворачиваем её:
cos(pi/4 - 2x) = 1/2sqrt2
cos(2x - pi/4) = 1/2sqrt 2
Ну и далее всё просто: мы получили простейшее уравнение, которое и решаем:
2x - pi/4 = +-arccos(1/2sqrt2) + 2pik
2x = +-arccos(1/2sqrt2) + pi/4 + 2pik
x = +-1/2 * arccos(1/2sqrt2) + pi/8 + pik
Это и есть ответ уравнения.
Надо иметь в виду, что ответы могут у одного и того же уравнения различаться, в зависимости от того, каким методом решалось оно. Например, это уравнение можно было решить иначе, например, сводя к однородному уравнению.

Answer 2

Чтобы решить уравнение cos(2x) + sin(2x) = 0.5, мы можем использовать тригонометрические тождества и методы решения тригонометрических уравнений.

Замена тригонометрических функций

Для начала, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы заменить cos(2x) и sin(2x) в уравнении:

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь наше уравнение будет иметь вид:

1 - 2sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) = 0.5

Упрощение уравнения

Давайте перенесем все термины на одну сторону уравнения:

2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + 0.5 = 0

Теперь мы можем упростить уравнение, разделив все коэффициенты на 2:

sin^2(x) - sin(x)cos(x) + 0.25 = 0

Факторизация

Давайте попробуем факторизовать полученное уравнение. Мы заметим, что первый и последний члены являются квадратами, а средний член имеет вид -sin(x)cos(x), который можно представить как -0.5sin(2x).

(sin(x) - 0.5cos(x))^2 = 0

Теперь мы можем применить тождество (a - b)^2 = 0, которое имеет только одно решение a = b:

sin(x) - 0.5cos(x) = 0

Решение уравнения

Теперь у нас есть уравнение sin(x) - 0.5cos(x) = 0, которое можно решить с помощью методов решения тригонометрических уравнений.

Мы можем поделить это уравнение на cos(x):

tan(x) = 0.5

Тангенс x равен 0.5. Чтобы найти значения x, мы можем взять обратный тангенс от 0.5:

x = atan(0.5)

Используя калькулятор, мы можем вычислить значение обратного тангенса и получить приближенное значение для x. В данном случае, x примерно равен 0.464.

Результат

Таким образом, уравнение cos(2x) + sin(2x) = 0.5 имеет решение x примерно равное 0.464, или в радианах x ≈ 0.464 + kπ, где k - любое целое число.