Question

Найдите уравнение касательной к графику функции f(x)= -x^2-4x+2 в точке с абсциссой x0= -1

Answer 1

Уравнение касательной имеет вид:

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Дана функция:

$f(x)=-x^2-4x+2$

Найдём значение функции в точке x₀:

$f(x_0)=f(-1)=-(-1)^2-4 \cdot (-1)+2=-1+4+2=5$

Найдём производную функции:

$f'(x)=-2x^{2-1}-4=-2x-4$

Найдём производную функции в точке x₀:

$f'(x_0)=f'(-1)=-2 \cdot (-1) -4 =2-4=-2$

Подставим найденные значения, чтобы найти уравнение касательной:

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

$y=5+(-2)(x-(-1))$

$y=5-2(x+1)$

$y=5-2x-2$

$\boxed{y=-2x+3}$

Ответ: y=-2x+3 - искомое уравнение.

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = -x^2 - 4x + 2 в точке с абсциссой x0 = -1, мы можем использовать производную функции. Касательная к графику функции в данной точке будет иметь такое же значение производной, как и сама функция в этой точке.

Нахождение производной функции f(x)

Для начала найдем производную функции f(x) = -x^2 - 4x + 2. Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности и применим правила дифференцирования:

f'(x) = -2x - 4

Нахождение значения производной в точке x0

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x0 = -1, подставим -1 вместо x в выражение для производной:

f'(-1) = -2(-1) - 4 = 2 - 4 = -2

Нахождение уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x0 и ординатой y0 будет иметь вид:

y - y0 = m(x - x0)

где m - значение производной в точке x0.

Подставим значения x0 = -1 и m = -2 в уравнение:

y - y0 = -2(x - x0)

Теперь найдем значение y0, подставив x0 = -1 в функцию f(x):

y0 = f(-1) = -(-1)^2 - 4(-1) + 2 = -1 + 4 + 2 = 5

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = -x^2 - 4x + 2 в точке с абсциссой x0 = -1 будет иметь вид:

y - 5 = -2(x + 1)

или эквивалентно:

y = -2x - 3

Ответ: Уравнение касательной к графику функции f(x) = -x^2 - 4x + 2 в точке с абсциссой x0 = -1: y = -2x - 3