Question

Доказать, что число a=n^4+2n^3-n^2-2n делится на 24 при любом n ∈ N (n>1)

Answer 1

N⁴ + 2n³ - n² - 2n = n(n³ + 2n² - n - 2) = n[n²(n + 2) - (n + 2)] = 
= n(n² - 1)(n + 2) = n(n - 1)(n + 1)(n + 2) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
Т.к. n > 1, то данное произведение будет положительным.
Мы видим, что произведение представлено в виде четырёх последовательных натуральных чисел.
Среди 4 последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 4, поэтому произведение обязательно делится на 4.
Среди 3 последовательных натуральных одно обязательно делится на 3, поэтому произведение делится и на 3.
Среди двух последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 2.
Значит, среди чисел одно делится обязательно на 4, одно на 3 и какое-то ещё на 2 (это число не будет делиться на 4).
Значит, всё произведение делится на 2·3·4 = 24, что и требовалось доказать. 

Answer 2

Для доказательства, что число a = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n делится на 24 при любом n ∈ N (n > 1), мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг:

Для n = 2, мы можем проверить, что a = 2^4 + 2*2^3 - 2^2 - 2*2 = 16 + 16 - 4 - 4 = 24, что является кратным 24.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого k > 1 число a = k^4 + 2k^3 - k^2 - 2k делится на 24.

Индукционный шаг:

Мы должны доказать, что если предположение индукции верно для k, то оно также верно для k + 1.

Рассмотрим a = (k + 1)^4 + 2(k + 1)^3 - (k + 1)^2 - 2(k + 1): a = (k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) + 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - (k^2 + 2k + 1) - 2(k + 1) a = k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 8k + 1 + 2k^3 + 6k^2 + 6k + 2 - k^2 - 2k - 1 - 2k - 2 a = k^4 + 8k^3 + 16k^2 + 10k a = k^4 + 2k^3 - k^2 - 2k + 6k^3 + 14k^2 + 10k a = (k^4 + 2k^3 - k^2 - 2k) + 6k^3 + 14k^2 + 10k a = 24m + 6k^3 + 14k^2 + 10k, где m = (k^4 + 2k^3 - k^2 - 2k)/24 (по предположению индукции)

Мы видим, что первое слагаемое 24m является кратным 24. Остается доказать, что 6k^3 + 14k^2 + 10k также является кратным 24.

Доказательство:

Мы можем вынести общий множитель 2 из каждого слагаемого: 6k^3 + 14k^2 + 10k = 2(3k^3 + 7k^2 + 5k)

Мы видим, что второе слагаемое 2(3k^3 + 7k^2 + 5k) также является кратным 24, так как каждый из множителей 3, 7 и 5 является кратным 8.

Таким образом, мы доказали, что a = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n делится на 24 при любом n ∈ N (n > 1).