Question

Докажите, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 19

Answer 1

Предположим, что существует  рациональное число q∈Q такое, что q²=19.
Тогда, q=√19
√19 ∉Q  (не является рациональным числом)
Следовательно, наше предположение неверно и не существует такого рационального числа, квадрат которого равнялся бы  19.
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Чтобы доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 19, мы можем использовать метод доказательства от противного. Допустим, существует рациональное число, обозначим его как p/q, где p и q - целые числа без общих множителей (то есть они взаимно просты). Тогда квадрат этого числа будет равен (p/q)^2 = p^2 / q^2.

Теперь мы хотим доказать, что p^2 / q^2 не может быть равно 19. Для этого мы можем предположить обратное - что p^2 / q^2 = 19. Помните, что мы предполагаем, что p/q - рациональное число, поэтому p и q могут быть записаны в виде целых чисел.

Мы можем переписать наше предположение следующим образом: p^2 = 19 * q^2. Теперь давайте рассмотрим это уравнение по модулю 19. Мы знаем, что (p^2) mod 19 = (19 * q^2) mod 19. По свойству модуля, (19 * q^2) mod 19 = 0, поскольку 19 делится на 19 без остатка.

Теперь мы можем записать наше уравнение следующим образом: (p^2) mod 19 = 0. Это означает, что p^2 делится на 19 без остатка. Обратите внимание, что 19 является простым числом.

Доказательство от противного

Давайте предположим, что p не делится на 19. Тогда мы можем применить малую теорему Ферма, которая говорит, что если p не делится на простое число, то p^(p-1) mod p = 1.

В нашем случае, p не делится на 19, поэтому p^18 mod 19 = 1. Но мы предполагаем, что (p^2) mod 19 = 0. Это противоречие.

Таким образом, наше предположение о том, что существует рациональное число p/q, квадрат которого равен 19, является ложным. Это означает, что такое рациональное число не существует.