Question

Используя логарифмическую производную найти производную функции y=x^1/x

Answer 1

Отвте в приложении *&^/#@/**/#@

Answer 2

Для нахождения производной функции y = x^(1/x) воспользуемся логарифмической производной.

Для начала возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

ln(y) = ln(x^(1/x))

Затем воспользуемся свойством логарифма ln(a^b) = b ln(a):

ln(y) = (1/x) ln(x)

Теперь возьмем производную от обеих сторон уравнения по x:

(d/dx) ln(y) = (d/dx) ((1/x) ln(x))

Для удобства воспользуемся правилом производной сложной функции:

(d/dx) ln(y) = (d/dx) (1/x) * ln(x) + (1/x) * (d/dx) ln(x)

Теперь найдем производные от каждого слагаемого:

(d/dx) (1/x) = -1/x^2

(d/dx) ln(x) = 1/x

Подставим найденные значения в уравнение:

(d/dx) ln(y) = -1/x^2 * ln(x) + (1/x) * 1/x

Теперь заметим, что (d/dx) ln(y) это производная ln(y) по x, что равносильно производной y по x, деленной на y:

(d/dx) ln(y) = (1/y) * (dy/dx)

Таким образом, получаем:

(1/y) * (dy/dx) = -1/x^2 * ln(x) + (1/x) * 1/x

Выразим dy/dx:

dy/dx = y * (-1/x^2 * ln(x) + 1/x^2)

Теперь подставим значение y:

y = x^(1/x)

dy/dx = x^(1/x) * (-1/x^2 * ln(x) + 1/x^2)

Таким образом, производная функции y = x^(1/x) равна:

dy/dx = x^(1/x) * (-1/x^2 * ln(x) + 1/x^2)

Это и есть искомая производная функции.