Question

Числитель дроби больше знаменателя на 5. Если к числителю дроби прибавить 3, а из знаменателя вычесть 1, то получим дробь, которая на 6,5 больше данной.Найдите данную дробь

Answer 1

Пусть x - это знаменатель, тогда
$\frac{x+5}{x}$ - исходная дробь
$\frac{x+8}{x-1}$ - дробь после изменений
Известно, что
$\frac{x+8}{x-1}- \frac{x+5}{x} = \frac{13}{2}$
Приводим к общему множителю
$\frac{x+8}{x-1}- \frac{x+5}{x} = \frac{4x+5}{x(x-1)} = \frac{13}{2}$
Обе части умножаем на $x(x-1)$, раскрываем скобки, упрощаем и получаем:
$13 x^{2} - 21x - 10 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$x1 = \frac{21+ \sqrt{21^{2}-4*13*(-10) } }{26} = \frac{21+31}{26} = 2$
$x2 = \frac{21- \sqrt{ 21^{2}-4*13*(-10) } }{26} = \frac{-10}{26} = -\frac{5}{13}$
Второй корень не подходит, во-первых, он дробный, во-вторых, отрицательный.
Итак, знаменатель равен 2, а числитель 5, т.е. исходная дробь $\frac{7}{2}$
Проверяем
$\frac{10}{1} - \frac{7}{2} = 10 - 3,5 = 6,5$

Answer 2

Пусть исходная дробь равна x/y, где x - числитель, y - знаменатель.

Условие гласит, что числитель дроби больше знаменателя на 5, то есть x = y + 5.

Также условие гласит, что если к числителю прибавить 3, а из знаменателя вычесть 1, то получим дробь, которая на 6,5 больше данной. Это означает, что (x + 3) / (y - 1) = (x/y) + 6,5.

Подставим значение x из первого условия во второе условие: (y + 5 + 3) / (y - 1) = ((y + 5) / y) + 6,5.

Упростим уравнение: (y + 8) / (y - 1) = (y + 5) / y + 6,5.

Умножим обе части уравнения на y(y - 1), чтобы избавиться от знаменателей: y(y + 8) = (y - 1)(y + 5) + 6,5y(y - 1).

Раскроем скобки: y^2 + 8y = y^2 + 5y - y - 5 + 6,5y^2 - 6,5y.

Упростим уравнение: 8y = 5y - y - 5 + 6,5y^2 - 6,5y.

Сократим подобные слагаемые: 8y = 5y - 5 + 6,5y^2.

Перенесем все слагаемые влево: 6,5y^2 - 2,5y - 5 = 0.

Умножим все слагаемые на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: 13y^2 - 5y - 10 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

a = 13, b = -5, c = -10.

D = (-5)^2 - 4 * 13 * (-10) = 25 + 520 = 545.

Так как D > 0, то у уравнения два корня.

Используем формулу для нахождения корней: y = (-b ± √D) / (2a).

y1 = (-(-5) + √545) / (2 * 13) ≈ 1,18. y2 = (-(-5) - √545) / (2 * 13) ≈ -0,52.

Таким образом, исходная дробь может иметь два значения: x1/y1 ≈ 6,18/1,18 и x2/y2 ≈ -4,48/-0,52.

Ответ: Данная дробь может быть равна примерно 6,18/1,18 или -4,48/-0,52.