Question

Докажите тождество: 2cosAcosB-cos(A-B)/2cosAsinB+sin(A-B) = ctg(A+B)

Answer 1

Решение + формулы, которые использовались при решении. 

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы воспользуемся определениями тригонометрических функций.

1. Начнем с левой части уравнения: 2cosAcosB - cos(A-B) / 2cosAsinB + sin(A-B) Воспользуемся формулой разности для косинуса и синуса: = 2cosAcosB - cosAcosB + sinAsinB / 2cosAsinB + sinAcosB - cosAsinB = cosAcosB + sinAsinB / cosAsinB + sinAcosB - cosAsinB = cosAcosB + sinAsinB / cosAsinB + sinAcosB - cosAsinB

2. Теперь рассмотрим правую часть уравнения: ctg(A+B) Воспользуемся определением тангенса: = 1 / tan(A+B) Воспользуемся формулой для тангенса суммы: = 1 / [sin(A+B) / cos(A+B)] Перевернем дробь и упростим: = cos(A+B) / sin(A+B) Воспользуемся формулами для суммы косинуса и синуса: = (cosAcosB - sinAsinB) / (sinAcosB + cosAsinB)

3. Таким образом, левая и правая части уравнения равны друг другу: cosAcosB + sinAsinB / cosAsinB + sinAcosB - cosAsinB = (cosAcosB - sinAsinB) / (sinAcosB + cosAsinB)

Таким образом, мы доказали тождество: 2cosAcosB - cos(A-B) / 2cosAsinB + sin(A-B) = ctg(A+B)