Question

Найти критические точки функции y=x^5-6x^3

Answer 1

$y'= (x^{5} -6 x^{3} )'=5 x^{4} -18 x^{2} ;$$5 x^{4} -18 x^{2}=0; x^{2} (5 x^{2} -18)=0; x_{1} =0$$5 x^{2} -18=0; 5 x^{2} =18$$x^{2} =18/5 x= \sqrt{18} / \sqrt{5}$

Answer 2

Поиск критических точек функции y=x^5-6x^3

Для поиска критических точек функции y=x^5-6x^3, мы будем искать точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки могут быть локальными минимумами, максимумами или седловыми точками.

1. Нахождение производной Начнем с нахождения производной функции y=x^5-6x^3. Для этой функции производная будет равна y'=5x^4-18x^2.

2. Нахождение критических точек Теперь мы найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем производную к нулю и найдем соответствующие x-координаты: 5x^4-18x^2=0 Вынесем x^2 за скобку: x^2(5x^2-18)=0 Получаем два уравнения: x^2=0 5x^2-18=0

Решив уравнение x^2=0, получаем x=0. Решив уравнение 5x^2-18=0, получаем x=±√(18/5) или x=±3√(2/5).

3. Анализ критических точек Теперь, когда мы нашли критические точки x=0, x=±√(18/5), x=±3√(2/5), мы можем проанализировать их, чтобы определить, являются ли они точками локального экстремума или седловыми точками.

Для этого можно использовать вторую производную или тест знаков. Если вторая производная положительна в точке, то это локальный минимум, если отрицательна - локальный максимум. Если вторая производная равна нулю или не существует, то тест знаков может помочь определить тип точки.

4. Вторая производная и тест знаков Найдем вторую производную функции y=x^5-6x^3: y''=20x^3-36x Теперь используем тест знаков: - Для x=0: y''(0)=0, поэтому тест знаков не дает определенности. - Для x=±√(18/5) и x=±3√(2/5) можно также использовать тест знаков для определения типа точек.

5. Итоговый вывод На основе анализа второй производной или теста знаков можно определить тип каждой критической точки (локальный минимум, максимум или седловая точка) функции y=x^5-6x^3.