Question

Cos^4x-sin^4x=1/2 допоможіть

Answer 1

Cos⁴x-sin⁴x=1/2
(cos²x)²-(sin²x)²=1/2
(cos²x-sin²x)*(cos²x+sin²x)=1/2
(cos²x-sin²x)*1=1/2
cos2x=1/2
$2x=-+arccos \frac{1}{2}+2 \pi n, n$∈Z
$2x=-+ \frac{ \pi }{3}+2 \pi n, n$∈Z
$x=-+ \frac{ \pi }{6}+ \pi n, n$∈Z

Answer 2

Давайте розглянемо вираз cos^4(x) - sin^4(x) і спробуємо знайти його значення. Потім ми покажемо, як це значення пов'язане з виразом 1/2.

Розкладання різниці квадратів

Вираз cos^4(x) - sin^4(x) можна розкласти за допомогою формули різниці квадратів. Формула різниці квадратів стверджує, що a^2 - b^2 = (a + b)(a - b). В нашому випадку, a = cos^2(x) і b = sin^2(x), тому ми можемо записати:

cos^4(x) - sin^4(x) = (cos^2(x) + sin^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x))

Тригонометрична тотожність

За тригонометричною тотожністю, cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Тому ми можемо замінити цей вираз у нашому розкладанні:

(cos^2(x) + sin^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x)) = 1 * (cos^2(x) - sin^2(x))

Тотожність синуса двійного кута

За формулою синуса двійного кута, sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Ми можемо переписати sin^2(x) як (1 - cos^2(x)), використовуючи цю формулу. Тому:

cos^2(x) - sin^2(x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1

Заміщення у виразі

Тепер, ми можемо замінити цей вираз у нашому попередньому розкладанні:

1 * (cos^2(x) - sin^2(x)) = 1 * (2cos^2(x) - 1) = 2cos^2(x) - 1

Пов'язаність з виразом 1/2

За вихідним питанням, ми знаємо, що cos^4(x) - sin^4(x) = 1/2. Тому, ми можемо записати рівняння:

2cos^2(x) - 1 = 1/2

Вирішення рівняння

Тепер, ми можемо розв'язати це рівняння для знаходження значення cos(x):

2cos^2(x) - 1 = 1/2

Спочатку, ми можемо перенести 1/2 на ліву сторону:

2cos^2(x) - 1 - 1/2 = 0

Ми можемо спростити це рівняння, додавши -1/2 до обох боків:

2cos^2(x) - 3/2 = 0

Розв'язування квадратного рівняння

Тепер, ми маємо квадратне рівняння 2cos^2(x) - 3/2 = 0. Щоб його розв'язати, ми можемо скористатись формулою для розв'язку квадратного рівняння:

cos(x) = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)

Де a = 2, b = 0 і c = -3/2. Підставимо ці значення:

cos(x) = [0 ± √(0^2 - 4(2)(-3/2))] / (2(2))

cos(x) = [± √(0 + 12)] / 4

cos(x) = ± √(12) / 4

Знаходження значень cos(x)

Значення √(12) можна спростити:

√(12) = √(4 * 3) = (√4) * (√3) = 2√3

Тому, ми можемо записати значення cos(x) як:

cos(x) = ± (2√3) / 4

Спрощення значень

Ми можемо спростити значення cos(x), розділивши чисельник і знаменник на 2:

cos(x) = ± √3 / 2

Відповідь

Таким чином, ми знайшли значення cos(x) для виразу cos^4(x) - sin^4(x) = 1/2. Воно дорівнює ± √3 / 2.