Question

Применение касательных к исследованию функций. F(x)=x^4-x^2

Answer 1

Находим производную  f'(x) = (x^4 - x²)' = 4x³ -2x = 2x(2x² -1).
 Ищем критические точки, решая уравнение f'(x)=0.
2x(2x²-1) = 0
2x=0, 2x²-1 = 0
x=0, x=1/√2, x= -1/√2.  Это критические точки.
________ -1/√2________0_______1/√2________
         -                    +                -                   +
убыв.                   возр.             убыв.           возрастает.
Теперь вычисляем значения у  в точках экстремумов
у√(-1/√2)= (-1/√2)^4 - (-1/√2)² = 1/4 -1/2 = - 1/4.
y(0) = 0
y(1/√2) = -1/4. функция четная.
 Наносим точки и строим график.Считаем дополнительные точки  при 1,-1,2,-2.

Answer 2

Касательная к функции f(x) в точке x=a - это прямая, которая касается графика функции в данной точке и имеет ту же наклонную как и график функции в этой точке.

Для функции f(x) = x^4 - x^2 мы можем найти касательную в произвольной точке x=a, используя производную функции. Для этого найдем производную функции f'(x):

f'(x) = 4x^3 - 2x

Затем найдем значение производной в точке x=a:

f'(a) = 4a^3 - 2a

Таким образом, наклонная касательной в точке x=a будет равна f'(a). Теперь мы можем записать уравнение касательной в точке x=a:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

Заменяя f(x) и f'(a) в уравнении, получаем:

y - (a^4 - a^2) = (4a^3 - 2a)(x - a)

Таким образом, уравнение касательной к функции f(x) = x^4 - x^2 в точке x=a будет:

y = (4a^3 - 2a)(x - a) + (a^4 - a^2)

Применение касательных к исследованию функции f(x) = x^4 - x^2 заключается в том, что они позволяют нам анализировать поведение функции вблизи определенной точки. Например, мы можем использовать касательные для определения экстремумов функции, т.е. точек, где производная равна нулю. Если производная меняет знак с плюса на минус, то это может указывать на локальный максимум, а если с минуса на плюс - на локальный минимум.

Кроме того, касательные позволяют нам аппроксимировать график функции вблизи заданной точки. Приближенное значение функции в точке можно найти, подставив значение x в уравнение касательной.

Таким образом, применение касательных к функции f(x) = x^4 - x^2 позволяет нам более детально изучить поведение функции вблизи определенной точки, а также аппроксимировать ее значение в этой точке.