Question

Решить неравенства: log3(x-1)<2 log1/5(2-x)>-1

Answer 1

Log 1/5 (2-x)>-1
log 1/5 (2-x)>log 1/5 (5)
Меняем знак неравенства т.к. основание принадлежит интервалу (0;1)
{2-x>0 (вместо того чтобы выписывать ОДЗ пишем это неравенство сразу в систему)
{2-x<5 
{x<2
{x>-3 
x принадлежит: (-3;2).

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы должны учесть следующие свойства логарифмов:

1. log_a(b) < log_a(c) если b < c, для любых положительных чисел a, b и c. 2. log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c), для любых положительных чисел a, b и c. 3. log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c), для любых положительных чисел a, b и c. 4. log_a(b^c) = c * log_a(b), для любых положительных чисел a и b, и любого числа c.

Исходное неравенство: log3(x-1) < 2 + log(1/5)(2-x) > -1

Давайте начнем с первой части неравенства: log3(x-1) < 2

Применим эквивалентное преобразование, возведя обе части неравенства в степень 3: 3^(log3(x-1)) < 3^2 x-1 < 9 x < 10

Теперь перейдем ко второй части неравенства: log(1/5)(2-x) > -1

Применим эквивалентное преобразование, возведя обе части неравенства в степень 1/5: (1/5)^(log(1/5)(2-x)) > (1/5)^(-1) 2-x > 5 -x > 3 x < -3

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал (-бесконечность, -3) объединенный с интервалом (1, 10).