Question

Найдите натуральные числа k ,m ,n удовлетворяющие соотношению 719k!=m!-n! (0!=1, k!=k (k-1)!=1*2*...*k, k=1,2,3 ...

Answer 1

719k!=n!((n+1)·...·m-1).
Если n>k, то сократим на k!, получим 719=((k+1)·...·n)((n+1)·...·m-1). Но, т.к. 719 - простое, то такого быть не может.
Если n<k, то сократим на n!, получим 719·(n+1)·...·k=(n+1)·...·m-1, откуда получается, что 1 делится на n+1, что быть не может. Значит остается n=k, т.е. 719=(n+1)·...·m-1. Отсюда 720=8·9·10=(n+1)·...·m. Значит n+1=8, m=10. Итак, k=n=7, m=10.

Answer 2

Для начала заметим, что по условию задачи мы имеем:

719k! = m! - n!

Также, согласно определению факториала, мы знаем, что для любого натурального числа k:

k! = k * (k-1)!

Таким образом, мы можем переписать данное соотношение следующим образом:

719k! = m! - n! 719 * k * (k-1)! = m! - n!

Далее, заметим, что факториал m! всегда будет больше факториала n! (так как m > n). Это означает, что разность m! - n! всегда будет положительной.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Пусть k > 1. Тогда k-1 > 0. Поэтому мы можем сократить (k-1)! с обеих сторон уравнения:

719 * k = m! / (k-1)! - n!

2. Пусть k = 1. Тогда в левой части уравнения получаем 719, а в правой части уравнения получаем m! - n!. Так как разность m! - n! всегда положительна, то k не может быть равно 1.

Таким образом, мы получаем, что натуральные числа k, m и n, удовлетворяющие данному соотношению, должны удовлетворять следующим условиям:

1. k > 1 2. 719 * k = m! / (k-1)! - n!

Конкретные значения k, m и n, которые удовлетворяют этим условиям, могут быть найдены путем решения данного уравнения.