Question

Решить интегралы: (7/x^2+5x^1/3)dx (6^x-e^x+x^1/2)dx

Answer 1

$\int\limits( { \frac{7}{x^2} +5x^{ \frac{1}{3} })} \, dx = \frac{7x^{-1}}{-1} + \frac{15x^{ \frac{4}{3} }}{4}+C= \boxed{-\frac{7}{x} + \frac{15x \sqrt[3]{x} }{4} +C}$

$\int\limits( {6^x-e^x+x^{0.5}) \, dx = \frac{6^x}{\ln 6} -e^x+ \frac{x^2}{4} +C$

Answer 2

Для решения этих интегралов воспользуемся правилами интегрирования и свойствами степенных функций.

1) Интеграл от (7/x^2 + 5x^(1/3))dx: Для начала разложим функцию на два слагаемых: Интеграл от (7/x^2)dx + Интеграл от (5x^(1/3))dx

Интеграл от (7/x^2)dx: Для этого интеграла воспользуемся правилом степенной функции. Интеграл от x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) В данном случае, когда n = -2: Интеграл от (7/x^2)dx = (7 * x^(-2+1))/(-2+1) = -7/x

Интеграл от (5x^(1/3))dx: Для этого интеграла также воспользуемся правилом степенной функции. Интеграл от x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) В данном случае, когда n = 1/3: Интеграл от (5x^(1/3))dx = (5 * x^(1/3+1))/(1/3+1) = (15 * x^(4/3))/4

Теперь сложим полученные интегралы: Интеграл от (7/x^2 + 5x^(1/3))dx = -7/x + (15 * x^(4/3))/4

2) Интеграл от (6^x - e^x + x^(1/2))dx: Для этого интеграла воспользуемся свойствами экспоненциальных и степенных функций.

Интеграл от 6^x dx: Для этого интеграла воспользуемся правилом степенной функции. Интеграл от a^x dx = (a^x)/(ln(a)) В данном случае, когда a = 6: Интеграл от 6^x dx = (6^x)/(ln(6))

Интеграл от e^x dx: Для этого интеграла воспользуемся свойством экспоненциальной функции. Интеграл от e^x dx = e^x

Интеграл от x^(1/2) dx: Для этого интеграла воспользуемся правилом степенной функции. Интеграл от x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) В данном случае, когда n = 1/2: Интеграл от x^(1/2) dx = (x^(1/2+1))/(1/2+1) = (2 * x^(3/2))/3

Теперь сложим полученные интегралы: Интеграл от (6^x - e^x + x^(1/2))dx = (6^x)/(ln(6)) - e^x + (2 * x^(3/2))/3

Таким образом, интегралы (7/x^2 + 5x^(1/3))dx и (6^x - e^x + x^(1/2))dx равны соответственно -7/x + (15 * x^(4/3))/4 и (6^x)/(ln(6)) - e^x + (2 * x^(3/2))/3.