Question

Найдите все значения a при каждом из которых один из корней уравнения x^2+(3a-3)x+2a^2-2a-4=0 отрицательный а другой заключен между числами 1 и 2

Answer 1

См. рисунок. Схематично изобразила параболу.
Так как в условии сказано, что корней 2, то дискриминант квадратного трехчлена должен быть положительным
D= (3a-3)²-4·(2a²-2a-4)=9a²-18a+9-8a²+8a+16=a²-10a+25=(a-5)²>0 при
а≠5
По схематичному  графику понимаем, что значение функции в точке 1 отрицательно, в точке 2 положительно, в 0 отрицательно
f(x) =x²+(3a-3)x+2a²-2a-4
f(0)=2a²-2a-4                    ⇒      2a²-2a-4<0  ⇒а∈(-1;2)
f(1)=1+3a-3+2a²-2a-4       ⇒      2a²+a - 6 <0⇒а∈(-2;3/2)
f(2)=4+(3а-3)·2+2а²-2а-4  ⇒      2а²+4а-6>0⇒а∈(-∞;-3)U(1;+∞)
Все эти услдовия должны выполняться одновременно, поэтому решением системы трех неравенств будет интервал (1;3/2)
Ответ. при а∈(1; 1,5)

Answer 2

Для начала, найдем дискриминант уравнения:

D = (3a-3)^2 - 4(2a^2-2a-4) = 9a^2 - 18a + 9 - 8a^2 + 8a + 16 = a^2 - 2a + 25

Для того чтобы один из корней был отрицательным, а другой заключен между числами 1 и 2, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант D был положительным и чтобы сумма корней была равна 3a-3.

1) Дискриминант должен быть положительным: a^2 - 2a + 25 > 0 a^2 - 2a > -25 a(a - 2) > -25

Уравнение квадратного трехчлена имеет вид a(a-2) = 0, его корни: a = 0 и a = 2.

2) Сумма корней должна быть равна 3a-3: x1 + x2 = 3a-3

Подставим a = 0: x1 + x2 = 3(0) - 3 x1 + x2 = -3

Подставим a = 2: x1 + x2 = 3(2) - 3 x1 + x2 = 3

Таким образом, при a = 0 сумма корней равна -3, а при a = 2 сумма корней равна 3.

Таким образом, значения a, при которых один из корней уравнения x^2 + (3a-3)x + 2a^2-2a-4 = 0 отрицательный, а другой заключен между числами 1 и 2, это a = 0 и a = 2.