Question

Докажите, что значение выражения 3\квадратный корень из 5 +4 - 3\квадратный корень из 5 -4, есть число рациональное

Answer 1

Решение
3 / (√5 + 4) - 3 /(√5 - 4) = [3*(√5 - 4 - √5 - 4)] / [(√5 + 4)*(√5 - 4)] =
= [3*(- 8)] / [(√5)² - 4²] = - 24 /  (5 - 16) = - 24 / (- 11) =
= 24/11 = 2 (2/11) - число рациональное
Определение:
рациональными числами называются числа, которые можно записать в виде дроби Z / n, где я - целое число, а n - натуральное

Answer 2

Чтобы доказать, что значение данного выражения является рациональным числом, нам нужно убедиться, что оно может быть представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами.

Давайте посмотрим на выражение подробнее: 3 / квадратный корень из 5 + 4 - 3 / квадратный корень из 5 - 4

Мы можем упростить это выражение, объединив одинаковые слагаемые: (3 - 4) / квадратный корень из 5 + (4 - 4) / квадратный корень из 5

Теперь у нас есть: -1 / квадратный корень из 5 + 0 / квадратный корень из 5

Так как знаменатель в обоих слагаемых одинаковый, мы можем объединить их в одно слагаемое: (-1 + 0) / квадратный корень из 5

Но -1 + 0 равно -1, поэтому получаем: -1 / квадратный корень из 5

Для того чтобы выяснить, является ли данное выражение рациональным числом, нам нужно проверить, можно ли представить квадратный корень из 5 в виде рационального числа. Если можно, то и выражение будет рациональным числом.

Предположим, что квадратный корень из 5 является рациональным числом и может быть представлен в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, а q не равно нулю и не имеет квадратных множителей в числителе и знаменателе.

Тогда мы можем записать: (-1) / (p/q) = -1 * (q/p)

Поскольку -1 и q/p являются рациональными числами, их произведение также будет рациональным числом.

Однако, квадратный корень из 5 является иррациональным числом, что означает, что его невозможно представить в виде дроби p/q, где p и q - целые числа. Это было доказано ранее математиками.

Таким образом, значение выражения 3 / квадратный корень из 5 + 4 - 3 / квадратный корень из 5 - 4 является иррациональным числом, а не рациональным числом.