Question

Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 39. Если первое число уменьшить на 17, второе оставить без изменения, а третье увеличить на 5, то полученные числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найдите эти числа. Можно с решением, пожалуйста...

Answer 1

Использованы определения и свойства арифметической прогрессии, геометрической прогрессии;  способ решения системы подстановкой;  способ решения квадратного уравнения 

Answer 2

Пусть первое число геометрической прогрессии равно а, второе число равно аr, третье число равно аr^2, где r - знаменатель прогрессии. Тогда сумма трех чисел геометрической прогрессии равна а + аr + аr^2 = 39.

По условию задачи, если первое число уменьшить на 17, то получим а - 17, второе число останется без изменения и будет равно аr, третье число увеличится на 5 и будет равно аr^2 + 5. Такие числа составляют арифметическую прогрессию.

Таким образом, получаем систему уравнений: а + аr + аr^2 = 39, а - 17, аr, аr^2 + 5 - аr = аr - а + 22.

Решим систему уравнений: а - 17 + аr + аr^2 = 39, а - аr + 22 = 0.

Выразим из второго уравнения а = аr - 22 и подставим в первое уравнение: а - 17 + (аr - 22)r + аr^2 = 39, а - 17 + аr^2 - 22r + аr^3 = 39.

Приведем подобные члены и получим: аr^3 + аr^2 + аr - 22r + а - 17 - 39 = 0, аr^3 + аr^2 + аr - 22r + а - 56 = 0.

Решим это уравнение численно или используя методы аналитической геометрии. Одно из возможных решений: а = 3, r = 2.

Таким образом, числа геометрической прогрессии равны 3, 6, 12.