Question

Вычислить неопределенный интеграл (с объяснением)

Answer 1

С начало отбросим числа 
$\int\limits { \frac{\sqrt{x^2-4}}{x^4}} \, dx \\\\ u=\sqrt{x^2-4}\\ du=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}dx\\\\ \frac{dx}{x^4}=dv\\ v= \int\limits { \frac{-1}{3x^3}} \, dx$
 то есть наш интеграл  запишиться   
     $\int\limits {udv} \, dx = uv- \int\limits {vdu} \, dx$ это формула интегрирования по частям ,   подставим 
       $\sqrt{x^2-4}*\frac{-1}{3x^3}} - \int\limits {\frac{-1}{3x^2*\sqrt{x^2-4}}}dx } = \\ \frac{\sqrt{x^2-4}}{3x^3} + \frac{\sqrt{x^2-4}}{12x} + C = \frac{ (x^2-4)^{\frac{3}{2}}}{12x^3}$
  последний интеграл это  по таблице 
То есть $\int\limits^4_2 { \frac{\qsrt{x^2-4}}{x^4}} \, dx = \frac{ (x^2-4)^{\frac{3}{2}}}{12x^3}+C\\ \frac{ (4^2-4)^{\frac{3}{2}}}{12*4^3}-\frac{ (2^2-4)^{\frac{3}{2}}}{12*2^3} = \frac{12^{{3}{2}}}{12*64}$

Answer 2

Вычисление неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл представляет собой обратную операцию к дифференцированию и позволяет найти функцию, производная которой равна данной функции. Для вычисления неопределенного интеграла используются различные методы, такие как метод замены переменной, метод интегрирования по частям и метод простых дробей.

Пример задачи: Вычислить неопределенный интеграл ∫(x^2+2x+1)ln x dx.

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx.

В данном случае выберем u(x) = ln x и v'(x) = (x^2+2x+1). Тогда u'(x) = 1/x и v(x) = (1/3)x^3 + x^2 + x.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫(x^2