Question

А) Решите данное уравнение: 2cos^2x+2sin2x=3 б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку: [-3p/2 ; -p/2]

Answer 1

$2 cos^{2}x+2sin2x=3$
$2cos^{2}x+4sinxcosx=3$
$2cos^{2}x+4sinxcosx-3 sin^{2} x-3cos^2x=0$
$-cos^2x+4sinxcosx-3sin^2x=0$
$cos^2x-4sinxcosx+3sin^2x=0$ | делим на $cos^2x$ не ≠0
$3tg^2x-4tgx+1=0$
$tgx=t$
$3t^2-4t+1=0$
Если первый корень 1, то второй $\frac{c}{a}$ = $\frac{1}{3}$
$tgx=1$
$x= \frac{p}{4}+pn$, n∈z
$tgx= \frac{1}{3}$
$x=arctg \frac{1}{3}$+pn, n∈z 
Найдем корни, это -3p/4, arctg$\frac{1}{3}$-p

Answer 2

A) Для решения данного уравнения сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества: 2cos^2x + 2sin2x = 3 2cos^2x + 4sinx*cosx = 3 2cos^2x + 2(2sinx*cosx) = 3 2cos^2x + 2sin2x = 3

Теперь заменим sin2x на 2sinxcosx: 2cos^2x + 2(2sinx*cosx) = 3 2cos^2x + 4sinx*cosx = 3

Теперь воспользуемся тождеством сложения для cos2x: 2cos^2x + 2cos2x = 3 2cos^2x + 2cos^2x - 2 = 3 4cos^2x - 2 = 3 4cos^2x = 5 cos^2x = 5/4 cosx = ±√(5/4) cosx = ±√5/2

B) Теперь найдем корни уравнения, принадлежащие промежутку [-3π/2; -π/2]. Так как cosx = ±√5/2, то корни будут: x1 = arccos(√5/2) x2 = -arccos(√5/2)

Теперь проверим, входят ли эти корни в указанный промежуток: arccos(√5/2) ≈ 0.6435 -arccos(√5/2) ≈ -0.6435

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие промежутку [-3π/2; -π/2], равны: x1 ≈ 0.6435 x2 ≈ -0.6435