Question

Решите неравенство (2/tgx+1) < 2-tgx

Answer 1

2/(tgx+1)<2-tgx
tgx=a
2/(a+1)-2-a<0
(2-2a+2+a²+a)/(a+1)<0
(a²-a+4)/(a+1)<0
a²-a+4>0 при любом а,т.к. D=-15<0⇒a+1<0⇒a<-1
tgx<-1
x∈(-π/2+πk;-π/4+πk,k∈z)

Answer 2

Для решения неравенства (2/tgx+1) < 2-tgx, сначала приведем его к виду, в котором левая и правая части содержат только tgx. Для этого переместим все слагаемые в левую часть и преобразуем ее:

(2/tgx+1) - (2-tgx) < 0

(2-tgx^2-2tgx-2)/tgx < 0

(-tgx^2-2tgx)/tgx < 0

-tgx-2 < 0

Затем решим полученное неравенство относительно tgx:

-tgx < 2

tgx > -2

Так как tgx = sinx/cosx, то это неравенство эквивалентно следующему:

sinx/cosx > -2

sinx > -2cosx

Для нахождения решения этого неравенства, построим графики функций y = sinx и y = -2cosx на интервале [0; 2π] и найдем те точки, в которых sinx выше, чем -2cosx. Это будет соответствовать интервалам, на которых выполняется неравенство.

![Графики функций y = sinx и y = -2cosx]

Из графика видно, что решением неравенства на интервале [0; 2π] являются следующие интервалы:

(0; π/6) ∪ (5π/6; 7π/6) ∪ (11π/6; 2π)

Обобщая, получаем общее решение неравенства в виде:

x ∈ (2kπ; 2kπ + π/6) ∪ (2kπ + 5π/6; 2kπ + 7π/6) ∪ (2kπ + 11π/6; 2kπ + 2π), где k - любое целое число.