Question

Найдите точки экмтремулы функции y=1/4 x^4- 1/2x^2+5

Answer 1

Находим производную, y= x^3-x=0 x(x^2-1)=0 x1=0, x2=-1, x3=1. Находим вторую производную, и это y=3x^2-1, подставляем ответы x1, x2, x3. Если при подставление ответ больше нуля, то это минимум, если меньше нуля, то это максимум. -1 min, 1 min, 0 max

Answer 2

Для того чтобы найти точки экстремума функции y = 1/4x^4 - 1/2x^2 + 5, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Нахождение производной функции

Давайте начнем с нахождения производной функции y по x. Вычислим производную, используя правила дифференцирования:

y' = d/dx (1/4x^4 - 1/2x^2 + 5)

Для нахождения производной, мы можем дифференцировать каждый член функции по отдельности. Производная константы равна нулю, поэтому первый и третий члены не влияют на результат:

y' = d/dx (1/4x^4) - d/dx (1/2x^2) + d/dx (5)

Вычислим производные каждого члена:

y' = (4/4)x^(4-1) - (2/2)x^(2-1) + 0

y' = x^3 - x

Поиск точек экстремума

Точки экстремума функции находятся в тех точках, где производная равна нулю или не существует. Давайте решим уравнение:

x^3 - x = 0

Мы можем факторизовать это уравнение:

x(x^2 - 1) = 0

Таким образом, мы получаем два решения:

1. x = 0 2. x^2 - 1 = 0

Для второго уравнения, мы можем решить его относительно x:

x^2 - 1 = 0 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, у нас есть три точки экстремума: x = 0, x = 1 и x = -1.

Вычисление значений функции в точках экстремума

Теперь, чтобы найти значения функции y в найденных точках экстремума, мы подставим эти значения x в исходную функцию y = 1/4x^4 - 1/2x^2 + 5.

Подставим x = 0:

y(0) = 1/4(0)^4 - 1/2(0)^2 + 5 y(0) = 0 - 0 + 5 y(0) = 5

Подставим x = 1:

y(1) = 1/4(1)^4 - 1/2(1)^2 + 5 y(1) = 1/4 - 1/2 + 5 y(1) = 1/4 - 2/4 + 20/4 y(1) = 19/4

Подставим x = -1:

y(-1) = 1/4(-1)^4 - 1/2(-1)^2 + 5 y(-1) = 1/4 - 1/2 + 5 y(-1) = 1/4 - 2/4 + 20/4 y(-1) = 19/4

Таким образом, точки экстремума функции y = 1/4x^4 - 1/2x^2 + 5: (0, 5), (1, 19/4), (-1, 19/4).