Question

Разложить на множители и решить по теореме виета: 1)х³+4х²-21х 2)х³-9х²-22х

Answer 1

1
x(x²+4x-21)=x(x+7)(x-3)
x1=x2=-4 u x1*x2=-21
x1=-7 u x2=3
2
x(x²-9x-22)=x(x+2)(x-11)
x1=+2=9 U x1*x2=-22
x1=-2 U x2=11

Answer 2

Разложение на множители и решение по теореме Виета для многочленов

Для решения задачи, нам необходимо разложить данные многочлены на множители и затем применить теорему Виета для нахождения корней уравнений.

1) Многочлен: х³ + 4х² - 21х + 2

Для начала, давайте попробуем найти его рациональные корни, используя алгоритм проб и ошибок или метод рациональных корней. Если мы найдем рациональный корень, мы сможем разложить многочлен на множители и решить его полностью.

Используя метод рациональных корней, мы ищем корни вида p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае 2), а q - делитель старшего коэффициента (в данном случае 1).

Пробуем различные значения p и q: - p = 1, q = 1: Подставляя в многочлен, получаем: (1/1)³ + 4(1/1)² - 21(1/1) + 2 = 1 + 4 - 21 + 2 = -14. Это не равно нулю. - p = 2, q = 1: Подставляя в многочлен, получаем: (2/1)³ + 4(2/1)² - 21(2/1) + 2 = 8 + 16 - 42 + 2 = -16. Это также не равно нулю. - p = -1, q = 1: Подставляя в многочлен, получаем: (-1/1)³ + 4(-1/1)² - 21(-1/1) + 2 = -1 + 4 + 21 + 2 = 26. Это тоже не равно нулю. - p = -2, q = 1: Подставляя в многочлен, получаем: (-2/1)³ + 4(-2/1)² - 21(-2/1) + 2 = -8 + 16 + 42 + 2 = 52. И это также не равно нулю.

Таким образом, мы не нашли рациональные корни для данного многочлена. В таком случае, нам придется использовать другие методы для разложения на множители.

Мы можем воспользоваться графическим методом или применить метод синтетического деления, чтобы найти корень многочлена. К счастью, в данном случае нам не придется использовать эти методы, так как важно лишь само разложение на множители и решение по теореме Виета.

Разложение на множители:

Хотя мы не можем найти рациональные корни, мы можем использовать метод проб и ошибок или полиномиальную длинную делительную цепочку, чтобы разложить многочлен на множители.

Предположим, что многочлен можно разложить в виде (х - а)(х - b)(х - с), где а, b и с - корни многочлена. Затем мы можем применить теорему Виета для нахождения этих корней.

Давайте попробуем разложить многочлен на множители: - Попробуем разложить на множители по схеме проб и ошибок: (х - а)(х - b)(х - с), где а, b и с - возможные корни. - Попробуем разложить свободный член 2 на простые множители: 2 = 1 * 2 или (-1) * (-2). Это означает, что возможные значения для а, b и с - 1, 2 или -1, -2. - Различные комбинации этих значений дают нам возможные многочлены, которые мы можем проверить.

Пробуем различные комбинации: - (х - 1)(х - 2): Раскрываем скобки и получаем х² - 3х + 2. Этот многочлен не совпадает с исходным многочленом. - (х + 1)(х + 2): Раскрываем скобки и получаем х² + 3х + 2. Этот многочлен также не совпадает с исходным многочленом. - (х - 1)(х + 2): Раскрываем скобки и получаем х² + х - 2. Этот многочлен совпадает с исходным многочленом.

Решение по теореме Виета:

Теперь, когда мы разложили многочлен на множители (х - 1)(х + 2), мы можем применить теорему Виета для нахождения корней уравнения.

Согласно теореме Виета, сумма корней многочлена равна отрицанию коэффициента при х второй степени, деленной на коэффициент при х³. В данном случае, сумма корней равна -(-3)/1 = 3.

Также согласно теореме Виета, произведение корней многочлена равно коэффициенту свободного члена, деленному на коэффициент при х³. В данном случае, произведение корней равно 2/1 = 2.

Таким образом, корни уравнения равны 1 и -2, а разложение на множители выглядит следующим образом: х³ + 4х² - 21х + 2 = (х - 1)(х + 2)(х + 1).

2) Многочлен: х³ - 9х² - 22х

Аналогично первому примеру, мы можем попробовать найти рациональные корни этого многочлена. Используя метод рациональных корней, мы ищем корни вида p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае 0), а q - делитель старшего коэффициента (в данном случае 1).

Пробуем различные значения p и q: - p = 1, q = 1: Подставляя в многочлен, получаем: (1/1)³ - 9(1/1)² - 22(1/1) = 1 - 9 - 22 = -30. Это не равно нулю. - p = -1, q = 1: Подставляя в многочлен, получаем: (-1/1)³ - 9(-1/1)² - 22(-1/1) = -1 - 9 + 22 = 12. Это тоже не равно нулю.

Разложение на множители:

Так как мы не нашли рациональные корни, мы можем использовать метод проб и ошибок или другие методы для разложения на множители.

Пробуем различные комбинации: - (х - 1)(х - 2): Раскрываем скобки и получаем х² - 3х + 2. Этот многочлен не совпадает с исходным многочлен