Question

Помогите по алгебре показательные уравнения 9^x-2*3^x+1-27=0 (1/2)^x2-2<1/4

Answer 1

1) 3²ˣ- 2 * 3ˣ * 3 -27=0
t = 3ˣ
t²-6t-27=0
D=36+108=144
t₁ = 6-12 / 2 = -3
t₂ = 6+12 / 2 = 9
3ˣ = -3,  3ˣ = 3⁻¹, x₁ = -1
3ˣ = 9,   3ˣ = 3²,  x₂ = 2
Ответ: х= -1; 2

2) (1/2) ˣ²⁻² < (1/2) ²
х²-2 = 2
х²=4
х₁ = -2
х₂ = 2
  
       +              -             +
------------₀-------------₀--------->x
             -2               2 
x∈(-2; 2)
Ответ: х∈(-2; 2)

Answer 2

Давайте начнем с первого уравнения: 9^x - 2*3^x + 1 - 27 = 0.

Для начала преобразуем уравнение, чтобы выразить его в виде степеней одного и того же числа. Заметим, что 9 = 3^2, поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом: (3^2)^x - 2*3^x + 1 - 27 = 0.

Теперь мы можем использовать свойства степеней, чтобы преобразовать уравнение дальше. (3^2)^x можно записать как 3^(2x), поэтому уравнение примет вид: 3^(2x) - 2*3^x + 1 - 27 = 0.

Теперь давайте введем новую переменную, скажем y = 3^x. Тогда уравнение примет вид: y^2 - 2y + 1 - 27 = 0.

Мы получили квадратное уравнение относительно y, которое можно решить с помощью квадратного уравнения. После решения уравнения относительно y, мы можем найти значения y и затем подставить их обратно в уравнение y = 3^x, чтобы найти значения x.

Теперь перейдем ко второму уравнению: (1/2)^x - 2 < 1/4.

Давайте начнем с того, что приведем обе стороны неравенства к общему знаменателю, чтобы избавиться от дроби. Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от дроби: 4*(1/2)^x - 8 < 1.

Теперь преобразуем дробь с помощью свойства степеней: 2^(-2x) - 8 < 1.

Теперь добавим 8 к обеим сторонам неравенства: 2^(-2x) < 9.

Для решения этого неравенства нам нужно взять логарифм от обеих сторон неравенства. Получится: log(2^(-2x)) < log(9).

С помощью свойств логарифмов мы можем преобразовать это неравенство в: -2x*log(2) < log(9).

Наконец, делим обе стороны на -2*log(2), получаем: x > -log(9) / (2*log(2)).

Таким образом, мы нашли решение для второго уравнения.