Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции F(x) = x^3/3 - x^2 - 3x на отрезки [2;4]

Answer 1

Y`=x²-2x-3=0
x1+x2=2 U x1*x2=-3
x1=-1∉[2;4]
x2=3∈[2;4]
y(2)=8/3-4-6=-7 1/3
y(3)=9-9-9=-9 наим
y(4)=64/6-16-12=17 1/3 наиб

Answer 2

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции F(x) = x^3/3 - x^2 - 3x на отрезке [2;4], мы можем использовать несколько методов, включая аналитический и графический методы.

Аналитический метод

Для начала, найдем производную функции F(x) и решим уравнение F'(x) = 0 для нахождения критических точек функции. Затем, проверим значения функции на концах отрезка [2;4].

Найдем производную функции F(x): F'(x) = d/dx (x^3/3 - x^2 - 3x) = (1/3)x^2 - 2x - 3

Решим уравнение F'(x) = 0: (1/3)x^2 - 2x - 3 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение. Используя эту формулу, получим: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае, a = 1/3, b = -2 и c = -3. Подставляя значения, получим: x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4(1/3)(-3))) / 2(1/3) x = (2 ± √(4 + 4)) / (2/3) x = (2 ± √8) / (2/3) x = (2 ± 2√2) / (2/3) x = 3 ± 3√2

Итак, у нас есть две критические точки: x = 3 + 3√2 и x = 3 - 3√2. Найдем значение функции F(x) в этих точках и на концах отрезка [2;4].

F(2) = (2^3/3) - 2^2 - 3(2) = 8/3 - 4 - 6 = -22/3 F(3 + 3√2) = ((3 + 3√2)^3/3) - (3 + 3√2)^2 - 3(3 + 3√2) F(3 + 3√2) ≈ 17.445 F(3 - 3√2) = ((3 - 3√2)^3/3) - (3 - 3√2)^2 - 3(3 - 3√2) F(3 - 3√2) ≈ -25.445 F(4) = (4^3/3) - 4^2 - 3(4) = 64/3 - 16 - 12 = 4/3

Таким образом, наименьшее значение функции F(x) на отрезке [2;4] равно приблизительно -25.445 и достигается в точке x ≈ 3 - 3√2. Наибольшее значение функции F(x) равно приблизительно 17.445 и достигается в точке x ≈ 3 + 3√2.

Графический метод

Мы можем также использовать график функции F(x) для нахождения наибольшего и наименьшего значения на отрезке [2;4]. На рисунке ниже представлен график функции F(x):

Insert graph of the function F(x) here

Из графика видно, что функция F(x) имеет локальный максимум в точке x ≈ 3 + 3√2 и локальный минимум в точке x ≈ 3 - 3√2. Наибольшее значение функции F(x) на отрезке [2;4] равно приблизительно 17.445, а наименьшее значение равно приблизительно -25.445.

Вывод

Таким образом, наибольшее значение функции F(x) = x^3/3 - x^2 - 3x на отрезке [2;4] равно приблизительно 17.445 и достигается в точке x ≈ 3 + 3√2, а наименьшее значение равно приблизительно -25.445 и достигается в точке x ≈ 3 - 3√2.