Question

Решите неравенство с модулем: |x^2+7x|<=4x+10Помогите пожалуйста, нужно полное решение

Answer 1

Так как модуль, то получаем систему неравенств:
х^2+7x<=4x+10
-(x^2+7x)<= 4x+10
Решая оба квадратных уравнения получаем следующий вид систему неравенств:
(х+5)(х-2)<=0
(x+10)(x+1)<=0
Из первого неравенства получаем ответ [-5;2]
Из второго неравенства получаем ответ  [-10;-1]
При совмещении двух промежутков получаем конечный ответ:  [-5;1]

Answer 2

Для решения данного неравенства с модулем, мы можем разбить его на два случая: когда выражение внутри модуля положительное и когда оно отрицательное. Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

Случай 1: x^2 + 7x >= 0

Если выражение внутри модуля положительное, то модуль можно убрать и оставить неравенство без модуля. Таким образом, мы получаем следующее уравнение:

x^2 + 7x <= 4x + 10

Для решения этого уравнения, сначала приведем его к квадратному виду:

x^2 + 7x - 4x - 10 <= 0

x^2 + 3x - 10 <= 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

(x + 5)(x - 2) <= 0

Теперь нам нужно определить интервалы, в которых это неравенство выполняется. Для этого мы можем использовать метод интервалов знакопостоянства. Рассмотрим знаки выражения (x + 5)(x - 2) в каждом из интервалов:

1. x < -5: Оба множителя отрицательны, поэтому выражение положительное. 2. -5 < x < 2: Первый множитель отрицательный, а второй положительный, поэтому выражение отрицательное. 3. x > 2: Оба множителя положительны, поэтому выражение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется в интервале -5 < x < 2.

Случай 2: x^2 + 7x < 0

Если выражение внутри модуля отрицательное, то мы должны изменить знак неравенства и поменять местами правую и левую части. Таким образом, мы получаем следующее уравнение:

-(x^2 + 7x) <= 4x + 10

-x^2 - 7x <= 4x + 10

-x^2 - 11x - 10 <= 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

(x + 10)(x + 1) >= 0

Теперь нам нужно определить интервалы, в которых это неравенство выполняется. Рассмотрим знаки выражения (x + 10)(x + 1) в каждом из интервалов:

1. x < -10: Оба множителя отрицательны, поэтому выражение положительное. 2. -10 < x < -1: Первый множитель отрицательный, а второй положительный, поэтому выражение отрицательное. 3. x > -1: Оба множителя положительны, поэтому выражение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется в интервалах x < -10 и x > -1.

Общее решение

Объединяя результаты из обоих случаев, мы получаем общее решение неравенства:

-5 < x < 2 или x < -10 или x > -1.

Таким образом, неравенство |x^2 + 7x| <= 4x + 10 имеет следующее полное решение: -5 < x < 2 или x < -10 или x > -1.