Question

При каких значениях p оба уравнения x^2-px+2013=0 - целые?

Answer 1

По теореме Виета 2013 — произведение корней, p — сумма корней.

Если корни целые, то они — делители числа 2013. Так как 2013 = 3 * 11 * 61, то есть следующие варианты разложить 2013 на два множителя (будут перечислены только положительные, но можно у обоих множителей поменять знак на минус, и это тоже будет допустимыми корнями):
2013 = 1 * 2013 = 3 * 671 = 11 * 183 = 33 * 61.

Получаем, что p может быть равно: ±2014, ±674, ±194, ±94.

Answer 2

Решение уравнения x^2 - px + 2013 = 0

Для того чтобы оба уравнения x^2 - px + 2013 = 0 имели целые корни, дискриминант должен быть квадратом целого числа. Дискриминант уравнения x^2 - px + 2013 = 0 равен D = p^2 - 4*2013.

Условие для целых корней

Для того чтобы оба уравнения x^2 - px + 2013 = 0 имели целые корни, дискриминант должен быть квадратом целого числа, то есть D = p^2 - 4*2013 = k^2, где k - целое число.

Поиск решения

Подставим 2013 вместо c в формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac и найдем значения p, при которых D является квадратом целого числа.

Решение

Из формулы дискриминанта D = p^2 - 4*2013 следует, что для целых корней уравнения x^2 - px + 2013 = 0, выражение p^2 - 4*2013 должно быть квадратом целого числа.

Подходящие значения p

Подходящие значения p можно найти, рассматривая различные целые значения p и проверяя, является ли выражение p^2 - 4*2013 квадратом целого числа.

Примеры значений p

Например, если p = 45, то D = 45^2 - 4*2013 = 2025 - 8052 = -6027, что не является квадратом целого числа.

Вывод

Для того чтобы оба уравнения x^2 - px + 2013 = 0 имели целые корни, необходимо найти такие значения p, при которых выражение p^2 - 4*2013 является квадратом целого числа.