Question

Дана функция f(x)=2x^3+3x^2-1 а)найдите промежутки возрастания и убывания функции б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [4;5] в) ее точки максимума и минимума;

Answer 1

F`(x)=6x²+6x=6x(x+1)=0
x=0  x=-1
a)                  +                    _                  +
----------------------(-1)------------------(0)-----------------
возр                         убыв                  возр
б)
x=-1∉[4;5] U x=0∉[4;5]
y(4)=2*64+3*16-1=175 наим
y(5)=2*125+3*25-1=324  наиб
b)х=-1 максимум
х=0 минимум

Answer 2

Решение:

a) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам нужно проанализировать её производную. Для этого возьмём производную функции f(x) и приравняем её к нулю:

f'(x) = 6x^2 + 6x

Теперь найдём точки, в которых производная равна нулю:

6x^2 + 6x = 0

Вынесем общий множитель:

6x(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x = 0 и x = -1.

Теперь проанализируем знаки производной в интервалах между этими точками и за пределами их, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции.

- Если x < -1, то оба множителя 6x и (x + 1) отрицательны. Поэтому производная f'(x) положительна на этом промежутке, что означает, что функция f(x) возрастает.

- Если -1 < x < 0, то первый множитель 6x положителен, а второй множитель (x + 1) отрицателен. Поэтому производная f'(x) отрицательна на этом промежутке, что означает, что функция f(x) убывает.

- Если x > 0, то оба множителя 6x и (x + 1) положительны. Поэтому производная f'(x) снова положительна на этом промежутке, что означает, что функция f(x) возрастает.

Итак, мы получаем следующие промежутки возрастания и убывания функции f(x):

- f(x) возрастает на промежутке (-∞, -1) - f(x) убывает на промежутке (-1, 0) - f(x) возрастает на промежутке (0, +∞)

b) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [4, 5], нам нужно вычислить значения функции в концах отрезка и в его критических точках.

Вычислим значения функции в концах отрезка:

f(4) = 2(4)^3 + 3(4)^2 - 1 = 128 + 48 - 1 = 175 f(5) = 2(5)^3 + 3(5)^2 - 1 = 250 + 75 - 1 = 324

Теперь найдём значения функции в критических точках, которые мы нашли в пункте a):

f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 1 = -1 f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 1 = -2 + 3 - 1 = 0

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [4, 5] равны соответственно 324 и -2.

c) Чтобы найти точки максимума и минимума функции, мы должны найти значения x, при которых f(x) достигает наибольшего и наименьшего значения на всей области определения функции.

Мы уже вычислили значения функции в критических точках:

f(0) = -1 f(-1) = 0

Таким образом, точка минимума функции на всей области определения находится в точке (-1, 0).

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [4, 5] мы уже нашли в пункте b).

Таким образом, точка максимума функции на отрезке [4, 5] находится в точке (5, 324), а точка минимума - в точке (4, 175).

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.