Question

(х - 2)(х + 1) < 3х + 3 и х - 2 < 3 выяснить, равносильно ли равенства

Answer 1

$a)\; \; (x-2)(x+1)\ \textless \ 3x+3\\\\x^2-x-2\ \textless \ 3x+3\\\\x^2-4x-5\ \textless \ 0\\\\x_1=2-\sqrt{4+5}=-1,\; \; x_2=2+3=5\\\\+++(-1)---(5)+++\\\\x\in (-1,5)\\\\b)\; \; x-2\ \textless \ 3\\\\x\ \textless \ 5\\\\x\in (-\infty ,5)$

Неравенства не равносильны, т.к.их решения не совпадают.

Answer 2

Если подставить x = -2, то 2-е неравенство выполняется, а первое нет. Значит, неравносильны

Answer 3

Исходное уравнение, которое нужно решить, выглядит следующим образом: (х + 2)(х + 1) < 3х + 3 и х - 2 < 3.

Решение неравенства (х + 2)(х + 1) < 3х + 3:

Для начала, раскроем скобки в левой части неравенства: х^2 + 3х + 2 < 3х + 3.

Затем, упростим выражение, вычитая 3х и 2 из обеих сторон неравенства: х^2 - х - 1 < 0.

Теперь, найдем корни квадратного уравнения х^2 - х - 1 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

В данном случае, a = 1, b = -1 и c = -1. Подставим значения в формулу: D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5.

Так как дискриминант D > 0, уравнение имеет два различных корня. Найдем их, используя формулу: х = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения в формулу: х = (-(-1) ± √5) / (2 * 1) = (1 ± √5) / 2.

Таким образом, уравнение имеет два корня: х = (1 + √5) / 2 и х = (1 - √5) / 2.

Теперь, чтобы определить интервалы, в которых неравенство выполняется, нужно построить знаковую линию и проверить значения в каждом интервале.

Проверка интервалов:

1. Проверим интервал (-∞, (1 - √5) / 2): - Выберем произвольное значение x, например, x = 0. - Подставим это значение в исходное неравенство: (0 + 2)(0 + 1) < 3 * 0 + 3. - Упростим выражение: 2 < 3. - Утверждение верно, так как 2 действительно меньше 3. - Значит, неравенство выполняется в интервале (-∞, (1 - √5) / 2).

2. Проверим интервал ((1 - √5) / 2, (1 + √5) / 2): - Выберем произвольное значение x, например, x = 1. - Подставим это значение в исходное неравенство: (1 + 2)(1 + 1) < 3 * 1 + 3. - Упростим выражение: 12 < 6. - Утверждение неверно, так как 12 не меньше 6. - Значит, неравенство не выполняется в интервале ((1 - √5) / 2, (1 + √5) / 2).

3. Проверим интервал ((1 + √5) / 2, +∞): - Выберем произвольное значение x, например, x = 2. - Подставим это значение в исходное неравенство: (2 + 2)(2 + 1) < 3 * 2 + 3. - Упростим выражение: 24 < 9. - Утверждение неверно, так как 24 не меньше 9. - Значит, неравенство не выполняется в интервале ((1 + √5) / 2, +∞).

Вывод:

Таким образом, исходное неравенство (х + 2)(х + 1) < 3х + 3 выполняется в интервале (-∞, (1 - √5) / 2). Неравенство не выполняется в интервалах ((1 - √5) / 2, (1 + √5) / 2) и ((1 + √5) / 2, +∞).