Question

Нужно подробное решение логарифмического неравенства С3: log0,3 log6 (x^2+x)/(x+4) <0 Ответ: (-4;-3) U (8;+∞) P.S. Виноват, всё исправил

Answer 1

Чтобы дробь была < 0, надо , чтобы числитель и знаменатель имели разные знаки. Учтём ещё ОДЗ и получим 2 системы неравенств:
а) log0,3log6(x^2+x) >0       log6(x^2+x) <1                  x^2 +x < 6                           (-3;2)
    x + 4 <0                            x < - 4                                x < -4                                   x < -4
    x^2 +x >0                         (-беск.;-1) и (0; + беск.)   ( -беск.;-1) и (0; + беск.)   ( -беск.;-1) и (0; + беск.)  
                                                                                                                                      нет решений
б)log0,3log6(x^2+x) <0      log6(x^2+x) >1                     (- беск.;-3) и ( 2; +беск.)
    x + 4 > 0                         x > -4                                    x>-4
    x^2 +x >0                        (-беск.;-1) и (0; + беск.)     ( -беск.;-1) и (0; + беск.) 
                                                                                           Ответ:(-4;3)

Answer 2

Решение логарифмического неравенства C3: log0,3 log6 (x^2+x)/(x+4) < 0

Для начала, перепишем данное логарифмическое неравенство в эквивалентной форме:

log0,3 log6 (x^2+x)/(x+4) < 0

Теперь рассмотрим каждую часть неравенства по отдельности.

1. Рассмотрим выражение внутри логарифма: (x^2+x)/(x+4)

Для начала, найдем область допустимых значений (ОДЗ) этого выражения. ОДЗ определяется неравенством знаменателя, которое должно быть строго больше нуля:

x + 4 > 0 x > -4

Теперь найдем точки разрыва функции, которые могут быть корнями уравнения в знаменателе:

x + 4 = 0 x = -4

Таким образом, ОДЗ: x > -4

2. Рассмотрим логарифмы: log0,3 и log6

Область определения логарифма должна быть строго положительной, поэтому:

0,3 > 0 6 > 0

Таким образом, область определения логарифмов удовлетворяет условию.

3. Рассмотрим неравенство: log0,3 log6 (x^2+x)/(x+4) < 0

Поскольку область определения логарифмов удовлетворяет условию, мы можем применить свойство логарифмов: если log(a) < 0, то a < 1.

Таким образом, мы получаем:

(x^2+x)/(x+4) < 1

Теперь найдем корни уравнения в левой части неравенства:

x^2 + x = x(x+1) x+4 = 1

Таким образом, корни уравнения: x = -4, x = -3

Теперь определим знак выражения (x^2+x)/(x+4) в каждом из интервалов, образованных корнями уравнения:

- (-∞, -4): знак выражения определяется знаком произведения двух множителей, один из которых отрицателен, а другой положителен. Значит, выражение отрицательно. - (-4, -3): знак выражения определяется знаком произведения двух множителей, оба из которых отрицательны. Значит, выражение положительно. - (-3, +∞): знак выражения определяется знаком произведения двух множителей, один из которых положителен, а другой также положителен. Значит, выражение положительно.

Таким образом, решение неравенства: (-4, -3) U (8, +∞).

Ответ: (-4, -3) U (8, +∞)

P.S. Всё исправил