Question

Найдите все такие значения параметра a,при которых уравнение (x^2-3x+2)^2+(x-a)^2=0 имеет ровно два различных корня?

Answer 1

В общем, не претендуя на строгость доказательства, выскажу свои соображения. Обе скобки в квадрате будут >=0. Соответственно их сумма тоже всегда будет >=0. Чтобы выражение обратилось в 0, нужно, чтобы обе скобки обратились в 0.
Соответственно x будет корнем только тогда, когда он занулит обе скобки одновременно. Это условие приводит к 2м уравнениям
$x^2 -3x+2=0 \\ x-a=0$
1-е уравнение квадратное. Решение его дает 2 возможных корня
x=1 и x=2. А вот из 2-го получается условие x=а.
 Получается что любой корень должен быть равен a. Т. е. какое бы фиксированное значение а мы ни возьмём,  2я скобка зануляется только при одном значении х=а. Таким образом ни при каких а два разных корня мы не получим.

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело ровно два различных корня, необходимо, чтобы выражение под знаком квадрата было равно нулю, и при этом выражение второго слагаемого не равнялось нулю.

Таким образом, у нас есть два случая:

1) (x^2-3x+2)^2 = 0, x-a ≠ 0 2) (x-a)^2 = 0, (x^2-3x+2) ≠ 0

Для первого случая: (x^2-3x+2)^2 = 0 (x^2-3x+2) = 0 Решая это квадратное уравнение, получаем два корня: x = 1 и x = 2

Для второго случая: (x-a)^2 = 0 x-a = 0 x = a

Таким образом, уравнение имеет два различных корня при a = 1 и a = 2.