Question

Решите неравенство (x - 8)²<√3(x-8)

Answer 1

$(x-8)^2\ \textless \ \sqrt3(x-8)\\\\t=x-8,\; \; t^2-\sqrt3t\ \textless \ 0\\\\t(t-\sqrt3)\ \textless \ 0\\\\+++(0)---(\sqrt3)+++\\\\t\in(0,\sqrt3)\; \; \to \; \; \left \{ {{t\ \textgreater \ 0} \atop {t\ \textless \ \sqrt3}} \right. \\\\a)\; x-8\ \textgreater \ 0\; \; \to \; \; x\ \textgreater \ 8\\\\b)\; \; x-8\ \textless \ \sqrt3\; \; \to \; \; x\ \textless \ 8+\sqrt3\\\\x\in (8,8+\sqrt3)$

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

(x - 8)² < √3(x - 8)

Сначала раскроем квадрат в левой части неравенства:

x² - 16x + 64 < √3(x - 8)

Теперь приведем все члены неравенства в левую часть:

x² - 16x + 64 - √3x + 8√3 < 0

Теперь объединим подобные члены:

x² - (16 + √3)x + (64 + 8√3) < 0

Теперь найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = (16 + √3)² - 4*1*(64 + 8√3) = 256 + 32√3 + 3 - 256 - 32√3 = 3

Так как дискриминант положительный, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Поскольку коэффициент при x² равен 1, то пара корней будет (x - α)(x - β), где α и β - корни квадратного уравнения. Из этого следует, что неравенство будет выполнено в интервалах между корнями квадратного уравнения.

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

x₁,₂ = (16 + √3) / 2 ± √(3 / 4)

Таким образом, корни квадратного уравнения равны:

x₁ = (16 + √3) / 2 + √(3 / 4) x₂ = (16 + √3) / 2 - √(3 / 4)

Теперь можем записать ответ:

(x - α)(x - β) < 0, где α = (16 + √3) / 2 + √(3 / 4) и β = (16 + √3) / 2 - √(3 / 4)

Таким образом, решением неравенства будет:

(16 + √3) / 2 - √(3 / 4) < x < (16 + √3) / 2 + √(3 / 4)