Question

При каких значениях Р вершин парабол у= -2(в квадрате) + 2Рх +3 и у=х(в квадрате) - 6Рх + Р располагаются по разные стороны оси х.

Answer 1

Ветви первой параболы направлены вниз, т.к. коэффициент при х в квадрате отрицательный ( равен -2).

Ветви первой параболы направлены вверх, т.к. коэффициент при х в квадрате положительный ( равен 1).

Чтобы вершины парабол были расположены по разные стороны от оси х, надо, чтобы ординаты их были разных знаков, т.е. одна положительна, одна-отрицательна.

 

 1) находим абсциссы вершин парабол:

           хв1=-2р/-4=р/2

           хв2=6р/2=3р

 

2) находим ординаты вершин парабол:

          ув1=-2(р/2)^2 +2p*p/2+3=p^2/2 +3 > 0 для любого р из R

          ув2=(3p)^2 -6p*3p +p = -9p^2+p=-9p(p-1/9)<0

          при р принадлежащем объединению промежутков (- бескон.;0) и

          (1/9; + бескон.)

 

Ответ:  объединение промежутков (- бескон.;0) и (1/9; + бескон.)

     

         

Answer 2

Для того чтобы определить, при каких значениях Р вершины парабол у = -2х^2 + 2Рх + 3 и у = х^2 - 6Рх + Р располагаются по разные стороны оси х, мы можем проанализировать их графики.

График параболы у = -2х^2 + 2Рх + 3

Для начала рассмотрим график параболы у = -2х^2 + 2Рх + 3. Для удобства, обозначим данную параболу как f(x).

Чтобы найти вершину параболы, мы можем воспользоваться формулой x = -b / (2a), где a, b и c - коэффициенты в уравнении параболы вида у = ax^2 + bx + c.

В данном случае, у нас есть уравнение y = -2x^2 + 2Рx + 3, поэтому a = -2, b = 2Р и c = 3.

Теперь, подставив значения a, b и c в формулу для x, мы можем найти вершину параболы f(x).

x = -(2Р) / (2(-2)) = Р / 2

Таким образом, вершина параболы f(x) находится в точке (Р/2, f(Р/2)).

График параболы у = х^2 - 6Рх + Р

Теперь рассмотрим график параболы у = х^2 - 6Рх + Р. Обозначим её как g(x).

Аналогично предыдущему случаю, чтобы найти вершину параболы g(x), мы можем воспользоваться формулой x = -b / (2a), где a, b и c - коэффициенты в уравнении параболы вида у = ax^2 + bx + c.

В данном случае, у нас есть уравнение y = x^2 - 6Рx + Р, поэтому a = 1, b = -6Р и c = Р.

Подставив значения a, b и c в формулу для x, мы можем найти вершину параболы g(x).

x = -(6Р) / (2(1)) = -3Р

Таким образом, вершина параболы g(x) находится в точке (-3Р, g(-3Р)).

Расположение вершин парабол

Теперь, чтобы определить, при каких значениях Р вершины парабол у = -2х^2 + 2Рх + 3 и у = х^2 - 6Рх + Р располагаются по разные стороны оси х, нам необходимо сравнить координаты вершин парабол f(x) и g(x).

Если вершина параболы f(x) (Р/2, f(Р/2)) находится слева от вершины параболы g(x) (-3Р, g(-3Р)), то они расположены по разные стороны оси х.

Таким образом, нам нужно сравнить значения Р/2 и -3Р.

Для того, чтобы вершины парабол у = -2х^2 + 2Рх + 3 и у = х^2 - 6Рх + Р располагались по разные стороны оси х, должно выполняться следующее неравенство:

(Р/2) < -3Р

Решим данное неравенство:

Р/2 < -3Р

Умножим обе части неравенства на 2 (положительное число, поэтому знак неравенства не поменяется):

2 * (Р/2) < 2 * (-3Р)

Р < -6Р

Теперь вынесем Р за скобки:

Р - Р < -6Р

0 < -5Р

Так как Р - Р = 0, получаем:

0 < -5Р

Очевидно, что данное неравенство не выполняется при любом значении Р.

Таким образом, вершины парабол у = -2х^2 + 2Рх + 3 и у = х^2 - 6Рх + Р никогда не располагаются по разные стороны оси х.